Lei de Coulomb e MHS

por ewertonaraujo22 Ter 15 Fev 2022, 10:19

Determinar o período das pequenas oscilações de um corpo de massa m e carga +q situado dentro de uma esfera lisa de raio R, se no ponto superior da esfera existe uma carga fixa +Q. Suponha que Eo é a permissividade elétrica do ar.

por renan2014 Sex 18 Fev 2022, 16:50

Para theta pequeno, a força restauradora será somente aquela da direção normal à direção radial, como no pêndulo simples.

Decompondo as forças nessa direção:

[latex]F_{res} = P \cdot sen \theta + F_{el}\cdot sen \dfrac{\theta}{2}[/latex]

Pela geometria, a distância entre as cargas será:

[latex]d = 2R \cdot cos \dfrac{\theta}{2}[/latex]

Logo a força elétrica será:

[latex]F_{el} = \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{d^2} = \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{4R^2 \cdot cos ^2 \dfrac{\theta}{2}} [/latex]

Assim,

[latex]F_{res} = mg \cdot sen \theta + \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{4R^2 \cdot cos ^2 \dfrac{\theta}{2}} \cdot sen \dfrac{\theta}{2}[/latex]

Como theta é pequeno, vamos substituir:

[latex]sen \theta \approx \theta[/latex]

[latex]cos ^2 \dfrac{\theta}{2} \approx 1[/latex]

Teremos:

[latex]F_{res} = mg \cdot \theta + \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{4R^2} \cdot \dfrac{\theta}{2}[/latex]

Pela geometria, o deslocamento no arco será o ângulo theta vezes o raio.

[latex]\Delta x = \theta \cdot R \therefore \theta = \dfrac{\Delta x}{R}[/latex]

Logo,

[latex]F_{res} = mg \cdot \dfrac{\Delta x}{R} + \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{4R^2} \cdot \dfrac{\Delta x}{2R}[/latex]

[latex]F_{res} = \underbrace{\left ( \dfrac{mg}{R} + \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{8R^3} \right )}_{k} \cdot \Delta x [/latex]

Logo, o período será dado por

[latex]T =2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}[/latex]

[latex]T =2\pi \sqrt{\dfrac{m}{ \dfrac{mg}{R} + \dfrac{K\cdot Q \cdot q}{8R^3}}}[/latex]

onde, K é:

[latex]K = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}[/latex]

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