inequação trigonométrica

por uma estudante Ter 26 Out 2021, 15:44

Se [latex]x[/latex] é um arco do 3° quadrante e senx [latex]<[/latex] −1/2, então uma possível raiz da equação senx + cosx = −1 é:

A resposta é: [latex]\frac{3\pi }{2}[/latex]

Eu fiz e cheguei ao resultado, mas gostaria de saber se essa forma é correta:

senx < -1/2 e está no 3º quadrante;

substituindo a equação dada em questão senx+cosx=-1 na equação fundamental da trigo [latex]sen^{2}x+cos^{2}x=1[/latex]

temos que:

[latex]sen^{2}x+(-1-senx)^{2}=1[/latex]
[latex]2sen^{2}x+2senx=0[/latex]

[latex]sen^{2}x+senx=0[/latex]

[latex]senx=k[/latex]

[latex]\therefore k^{2}+k=0[/latex]

[latex]k_{1}= 0[/latex]

[latex]k_{2}= -1[/latex]

como senx < -1/2 e está no 3º quadrante:

*imaginando no círculo trigonométrico, x está nos intervalos onde senx=-1/2 e senx=-1 no terceiro quadrante*

Logo x da equação pode ser:

[latex]\frac{3\pi }{2}[/latex]

pois seu seno=-1

ou...

[latex]\pi [/latex]

pois seu cosseno=0

Não há [latex]\pi [/latex] , somente [latex]\frac{3\pi }{2}[/latex]que é justamente a resposta Very Happy

por **Elcioschin** Ter 26 Out 2021, 16:56

Existe um erro na sua equação sen²x + (- 1 - sen²x) = 1

senx + cosx = - 1 ---> Elevando ao quadrado:

(senx + cosx)² = (-1)² ---> sen²x + cos²x + 2.senx.cosx = 1 --->

1 + sen(2.x) = 1 ---> sen(2.x) = 0 --> Possibilidades:

2.x = 0 ---> x = 0 ---> não serve
2.x = pi ---> x = pi/2 ---> não serve
2.x = 2.pi ---> x = pi ---> não serve
2.x = 3.pi ---> x = 3.pi/2

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