Expressões Numéricas

Determine o valor da expressão abaixo quando a=2014 e n=1000

   [latex]\frac{1}{a^{-n}+1}+\frac{1}{a^{-n+1}+1}+...+\frac{1}{a^{-1}+1}+\frac{1}{a^0+1}+\frac{1}{a^n+1}+\frac{1}{1+a^{-n+1}}+...+\frac{1}{a^1+1}[/latex]

[latex]\left(a\right)\:1000^{2013}\:\:\left(b\right)2013^{1000}\:\:\left(c\right)2013\:\:\:\left(d\right)\frac{2001}{2}\:\:\left(e\right)1000[/latex]


A resposta seria a letra D, quem puder ajudar com a resolução agradeço desde já!

Um possível caminho seria:

Note que: 1/(1+a^(-n)) + 1/(1+a^(n) = (1+a^(n))/(1+a^(n)) = 1

Da mesma forma que:

1/(1+a^(-n+1)) + 1/(1+a^(n-1) = 1

A ideia é, vc alterar de forma simétrica o expoente.

Dito isso, agora vamos agrupar os termos que tem essa mesma configuração, ficando: 

[1/(a^(-n)+1) + 1/(a^(n)+1)]+[1/(1+a^(-n+1)) + 1/(1+a^(n-1)]+...+[1/(a^(-1)+1) + 1/(a^(1)+1)] + 1/(a^(0)+1)


O termo em negrito é o termo independente. 

Assim, a expressão ficaria:

1+1+1+1+1+.....+1+(1/2) = n+(1/2) = (2n+1)/2

Em que: 1+1+1+...+1 = n, pois tal soma forma uma PA de razão 1, a1=1, e an=1, assim Sn=(1+1)*n/2 =n

Substituindo n=1000, ficaria: 2001/2