Limite - noções

por Jessé de Jesus Sex 14 Out 2011, 02:10

Existe um número a tal que

$\lim_{x\to-2}\left \frac{3x^2+ax+a+3}{x^2+x-2}$

exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.

por rihan Sex 14 Out 2011, 07:44

P(x) = 3x² + ax + a + 3

d(x) = x² + x - 2 = (x+2)(x-1)

Quando x→ -2 ⇒ d(x) → 0

Temos que ter P(x) múltiplo de (x+2), para
que o limite do quociente P(x)/d(x) exista, já que, enquanto x →-2 , x≠-2 e d(x)≠0, podemos dividir P(x) e d(x) por (x+2), resultando num quociente Q(x) = bx + c, polinômio de grau 2 sem restrições quaisquer.

Logo, basta descobrir qual o polinômio (bx + c) que multiplicado por (x+2) resultará em d(x).

(bx + c)(x+2) = 3x² + ax + a + 3

bx² + (2b+c)x + 2c = 3x² + ax + a + 3

⇒

b = 3

2b + c = a

2c = a + 3

⇒

6 + c = a ---> * (+2)

2c - 3 = a

⇒

12 + 2c = 2a

2c - 3 = a
----------------- (-)
12 + 3 = a

a = 15

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