FME - Equações trigonométricas

Calcule:

[latex]cosx + cos(2x+a)+cos(3x+2a) = 0[/latex]

Calculando a soma, achei:

[latex]2cos(2x+a)\left [ cos(x+a)+\frac{1}{2} \right ]=0[/latex]

Ai usei, como é apresentado no livro:

[latex]cos\alpha =cos\beta \rightarrow \alpha =\pm \beta +2k\pi [/latex]


Mas o minha resposta é diferente do gabarito do livro. Alguém sabe por que?


Minha resposta:

[latex]x = \frac{\pi }{4}-\frac{a}{2}+\frac{k\pi }{2}[/latex]

[latex]x =\pm \frac{2\pi }{3}-a+2k\pi [/latex]


Gabarito do livro:
[latex]x =\pm \frac{\pi }{4}-\frac{a}{2}+k\pi [/latex]
[latex]x =\frac{2\pi }{3}-a+2k\pi [/latex]

[latex]x = \frac{4\pi }{3}-a+2k\pi [/latex]

Na primeira solução acredito que você cometeu um erro, mas as outras duas do gabarito são só uma outra forma de escrever a sua segunda solução, sem utilizar da notação de 'mais e menos'. Veja:

[latex]\\\bullet\;cos(2x+a)=0=cos(\frac{\pi}{2}) \\\\\;\rightarrow\;2x+a=\pm \frac{\pi}{2}+2k\pi\;\rightarrow\;\boxed{x=\pm\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}+k\pi} \\\\\bullet\;cos(x+a)=-\frac{1}{2}=cos(\frac{2\pi}{3}) \\\\\;\rightarrow\;x+a=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi\;\rightarrow\;\boxed{x=\pm\frac{2\pi}{3}-a+2k\pi}\\\\\text{Veja que: }x=-\frac{2\pi}{3}-a+2k\pi=2\pi-\frac{2\pi}{3}-a+2k\pi=\frac{4\pi}{3}-a+2k\pi\\\\\text{Logo, outra forma poss\'ivel de se escrever a solucao \'e:}\\\\ \boxed{x=\frac{2\pi}{3}-a+2k\pi\;ou\;\frac{4\pi}{3}-a+2k\pi} [/latex]

Perceba que a mesma ideia poderia ser aplicado na primeira solução, de modo que ao invés de termos [latex]\pm\frac{\pi}{4}[/latex] teriamos uma parcela com [latex]\frac{\pi}{4}[/latex] e outra com [latex]\frac{3\pi}{4}[/latex]