Retas

Considere no plano cartesiano, duas retas, r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x − 5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 3) e intersecta r e s nos pontos A e B, com A ∈ r e B ∈ s, de modo que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB


RESPOSTA

y = -3x/4 + 15/4

Se possível, gostaria de um desenho (gráfico) para o melhor entendimento

Olha, tentar explicar isso graficamente é muito difícil. Logo, tentarei te explicar por vetores.

i) reta r

[latex]y=x-5[/latex]

Para um A' pertencente a reta r (definindo que x = k) temos:

[latex]A' = (k , k - 5); \forall k \epsilon \mathbb{R}[/latex]

ii) reta s

[latex]y=2x+12[/latex]

Para um B' pertencente a reta s (definindo que x = j) temos:

[latex]B' = (j , 2j + 12); \forall j \epsilon \mathbb{R}[/latex]

iii) Com isso temos que:

Como P é o ponto médio do segmento AB, temos:

[latex]P = \frac{A + B}{2}[/latex]

[latex](1,3)=\frac{(k , k - 5)+(j , 2j + 12)}{2}=(\frac{k+j}{2},\frac{k+2j+7}{2})[/latex]

Portanto,

[latex]\left\{\begin{matrix} \frac{k+j}{2}=1\\ \\ \frac{k+2j+7}{2}=3 \end{matrix}\right.[/latex]

Resolvendo o sistema, temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} k=5\\ \\j=-3 \end{matrix}\right.[/latex]

iv) logo, temos os pontos:

[latex]\left\{\begin{matrix} A=(5,0)\\ \\B=(-3,6) \\ \\ P=(1,3) \end{matrix}\right.[/latex]

Sendo A, B e P pontos da reta t: ax+by+c = 0, temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} a\cdot 5 + b\cdot 0 +c =0\\ \\ a\cdot (-3) + b\cdot 6 + c = 0 \\ \\ a\cdot 1 + b\cdot 3 + c = 0 \end{matrix}\right.[/latex]

Resolvendo o sistema temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} a = 3\\ \\b = 4 \\ \\ c = -15 \end{matrix}\right.[/latex]

Logo,

[latex]t: 3\cdot x + 4\cdot y - 15 = 0[/latex]

[latex]t: y = -\frac{3}{4}\cdot x + \frac{15}{4}[/latex]