função por partes

Para

tem-se que, em x=0, f é:

a) derivável até a 2ª ordem.
b) derivável, e  f' é contínua e não derivável.
c) derivável, e f' é descontínua.
d) contínua e não derivável.
e) descontínua.

Gabarito: C

Testando continuidade de f:
lim[x → 0+] f(x) = lim[x → 0+] x² sen(1/x) = 0
lim[x → 0-] f(x) = lim[x → 0-] x² sen(1/x) = 0
(Pois sen(1/x) é função limitada em [-1, 1] e x² → 0 para x → 0.)

Como lim[x → 0+] f(x) = lim[x → 0-] f(x) = f(0) = 0, então f é continua em x = 0.

Derivada de f, tanto para x → 0+ quanto x → 0- é:
f'(x) = {(x² sen(1/x))', para x ≠ 0
..........{0, para x = 0

= {2x sen(1/x) - cos(1/x), para x ≠ 0
...{0, para x = 0

Logo f é derivável até a primeira ordem.

Testando continuidade de f':
lim[x → 0+] f'(x) = lim[x → 0+] 2x sen(1/x) - cos(1/x) = indefinido
lim[x → 0-] f'(x) = lim[x → 0-] 2x sen(1/x) - cos(1/x) = indefinido
(Ambos os limites acima são indefinidos, pois para x → 0± tem-se que 1/x → ±∞ e sen(1/x) e cos(1/x) ficam indefinidos entre -1 e 1, e, portanto, não existem.)

Logo, f' não é continua, e, consequentemente, não derivável (ou seja, f não é derivável até a segunda ordem).