Transformação linear, isomorfismo e núcleo

Boa noite, estou tendo dificuldades em analisar essa questão, estou sem o gabarito.



Considere a transformação linear  ⇒  definida por



Com relação a esse operador, analise as asserções a seguir.

 é isomorfismo

PORQUE

O núcleo de  é N = {( 0, 0, 0 )}.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
(B) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
(C) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
(E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Justifique a opção escolhida.


Obrigada!

Para T ser um isomorfismo essa transformação precisa ser bijetora.

Para verificar a injetividade, basta achar os elementos do núcleo, ou seja, que satisfazem T(x,y)=(0,0)

2x+6y=0
6x+2y=0

Resolvendo esse sistema, verifica que a única solução é a trivial, ou seja, o elemento (0,0).

Assim, o núcleo da transformação N(T)={(0,0)}. Portanto, a transformação é injetora.

Agora pelo teorema do núcleo e da imagem, temos que Dim(R²) = Dim(N(T)) + Dim(Im(T)). Como Dim(N(T)) = 0, temos que Dim(Im(T))=Dim(R²) e portanto, T é sobrejetora.

Logo, conclui-se que T é isomorfismo.

Então vemos que basta que o núcleo da transformação seja o trivial, ou seja, a transformação é injetiva que já implica, pelo teorema do núcleo e da imagem que ela será sobrejetiva o que implica no isomorfismo da transformação.

Assim, considero a alternativa C como resposta.

Obrigada!