Olá! Estou com uma dúvida

por Medboy Sex 20 Dez 2019, 13:16

Qual é a soma de todos os divisores exatos do número $Olá! Estou com uma dúvida Gif$ que são da forma $Olá! Estou com uma dúvida Gif$ , supondo a e b maiores do que zero?

Gostaria de saber o procedimento correto para resolver.
Se possível até um link para exercícios similares e/ou pdfs de teoria sobre o tema.
Agradeço!

por **Elcioschin** Sex 20 Dez 2019, 17:49

Não sou perito na área mas vou mostrar o ponto de partida.
Oxalá outros colegas do fórum possam ajudar.

19ⁿ ---> Se n for par, 19ⁿ termina em 1 e se n for ímpar, 19ⁿ termina em 9

19⁸⁸termina em 1 ---> N termina em zero ---> 5 é fator primo de N

N = 2^a.3^b.5^c...

Total de divisores naturais: d = (a + 1).(b + 1). (c + 1)....

por **Vitor Ahcor** Sex 20 Dez 2019, 20:58

Olá, possui a resposta? Cheguei em 576.

por Medboy Sáb 21 Dez 2019, 18:01

Então, peguei esse exercício aqui no fórum mesmo. O autor da postagem deu como gabarito 744, mas não sei como ele chegou na resposta. Você já viu exercício semelhante?

por **Vitor Ahcor** Sáb 21 Dez 2019, 18:24

Medboy escreveu:Então, peguei esse exercício aqui no fórum mesmo. O autor da postagem deu como gabarito 744, mas não sei como ele chegou na resposta. Você já viu exercício semelhante?

Bom, a ideia que utilizei foi usar congruência e notar que o máximo valor de a é 5 e o de b é 2.

Por exemplo: a=1

19 ≡ 1 mod2
19^88 ≡ 1^88 mod2
19^88 - 1 ≡ 0 mod2

E assim vai até a=5. Raciocínio análogo para b. Contudo, o resultado destoa do gabarito. Sad

por **Vitor Ahcor** Seg 23 Dez 2019, 15:40

Olá, refazendo a questão, percebi que tinha errado algumas contas...

O resultado - utilizando a ideia que falei - é 744. Repetindo, basta provar, por congruência, que os números 2,4,8,16 e 32 dividem 19^88 - 1 mas 64 não, e que 3 e 9 dividem 19^88 - 1 mas 27 não. Sendo assim, nenhum outro número que possui a > 5 e b > 2 dividirá 19^88 - 1.
Daí, os divisores pedidos são : {2*3, 2*9, 4*3, 4*9, 8*3, 8*9, 16*3, 16*9, 32*3, 32*9}, e a soma deles é 744.