Complexos
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Complexos
por lcvf9696 Qui 14 Mar 2019, 06:01
Sabendo que o número complexo z = a+bi, tal que a e b são números reais com b ≠ 0. Então o valor mínimo da expressão Im(z^5)/[Im(z)]^5 é igual a :
A) – 1
B) – 2
C) – 3
D) – 4
E) – 5
Gab:D
A) – 1
B) – 2
C) – 3
D) – 4
E) – 5
Gab:D
Última edição por lcvf9696 em Sex 15 Mar 2019, 01:52, editado 1 vez(es)
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Re: Complexos
por Elcioschin Qui 14 Mar 2019, 12:15
(x + y)5 = x5 + 5.x4.y + 10.x3.y2 + 10.x2.y3 + 5.x.y4 + y5
z = a + bi ---> Im(z) = b
Basta fazer as contas; vais chegar numa função do 2º grau: calcule o mínimo
z = a + bi ---> Im(z) = b
Basta fazer as contas; vais chegar numa função do 2º grau: calcule o mínimo
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Re: Complexos
por Juninhosi Ter 06 Jul 2021, 16:26
Não consegui chegar na função do 2º grau, poderia me ajudar?Elcioschin escreveu:(x + y)5 = x5 + 5.x4.y + 10.x3.y2 + 10.x2.y3 + 5.x.y4 + y5
z = a + bi ---> Im(z) = b
Basta fazer as contas; vais chegar numa função do 2º grau: calcule o mínimo
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Re: Complexos
por eduardodudu101 Ter 06 Jul 2021, 18:01
[latex]z^{5} = (a+bi)^{5}[/latex]
Pelo Binômio de Newton:
[latex]z^{5} = \binom{5}{0}a^{5} + \binom{5}{1}a^{4}bi + \binom{5}{2} a^{3}(bi)^{2} + \binom{5}{3}a^{2}(bi)^{3} + \binom{5}{4}a(bi)^{4} + \binom{5}{5}(bi)^{5}[/latex]
[latex]z^{5} = a^{5} + 5a^{4}bi -10a^3b^{2} - 10a^{2}b^{3}i + 5ab^{4} + b^{5}i[/latex]
[latex]Im(z^5) = 5a^4b -10a^2b^3 + b^5[/latex]
[latex]\frac{Im(z^5)}{[Im(z)]^5} = \frac{5a^4b - 10a^2b^3 + b^5}{b^5}[/latex]
Dividindo membro por membro:
[latex]\frac{Im(z^5)}{[Im(z)]^5} = 5(\frac{a}{b})^4 - 10(\frac{a}{b})^2 + 1[/latex]
Considerando [latex](\frac{a}{b})^2 = x[/latex]
[latex]\frac{Im(z^5)}{[Im(z)]^5} = 5x^2 -10x + 1[/latex]
Calculando o Yv(Valor Mínimo),obtém-se yv = -4
Pelo Binômio de Newton:
[latex]z^{5} = \binom{5}{0}a^{5} + \binom{5}{1}a^{4}bi + \binom{5}{2} a^{3}(bi)^{2} + \binom{5}{3}a^{2}(bi)^{3} + \binom{5}{4}a(bi)^{4} + \binom{5}{5}(bi)^{5}[/latex]
[latex]z^{5} = a^{5} + 5a^{4}bi -10a^3b^{2} - 10a^{2}b^{3}i + 5ab^{4} + b^{5}i[/latex]
[latex]Im(z^5) = 5a^4b -10a^2b^3 + b^5[/latex]
[latex]\frac{Im(z^5)}{[Im(z)]^5} = \frac{5a^4b - 10a^2b^3 + b^5}{b^5}[/latex]
Dividindo membro por membro:
[latex]\frac{Im(z^5)}{[Im(z)]^5} = 5(\frac{a}{b})^4 - 10(\frac{a}{b})^2 + 1[/latex]
Considerando [latex](\frac{a}{b})^2 = x[/latex]
[latex]\frac{Im(z^5)}{[Im(z)]^5} = 5x^2 -10x + 1[/latex]
Calculando o Yv(Valor Mínimo),obtém-se yv = -4
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