Prove que..

por **Pietro di Bernadone** Sáb 25 Jun 2011, 18:00

Prove que $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1$

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por Bruno Barreto Sáb 25 Jun 2011, 20:04

Pelo teste da razão :
$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}+n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{(n+1)^{2}+(n+1)}*\frac{(n^{2}+n)}{1}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+n}{n^{2}+3n+2}=\frac{\frac{n^{2}+n}{n^{2}}}{\frac{n^{2}+3n+2}{n^{2}}}$
$=\lim_{n \to \infty }\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{1}=1$

por Man Utd Dom 06 Jul 2014, 11:23

A solução está errada, pois o teste da razão não fornece a soma da série.

Uma das maneiras seria usar frações parciais obtendo:

$\\\\\\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

logo :

$\\\\\\ \sum_{n=1}^{k} \; \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\left(1{\color{Red} -\frac{1}{2}} \right )+ \left( {\color{Red} \frac{1}{2}}{\color{Green} -\frac{1}{3}} \right )+ \left( {\color{Green} \frac{1}{3}} {\color{Magenta} -\frac{1}{4}}\right )\cdots+\left( {\color{Orange} \frac{1}{k}}-\frac{1}{k+1} \right)=1-\frac{1}{k+1}$

da definição de série:

$\\\\\\ \sum_{n=1}^{+\infty} \; \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\lim_{ k \to +\infty} \;\sum_{n=1}^{k} \; \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\\\\\ \sum_{n=1}^{+\infty} \; \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\lim_{ k \to +\infty} \; 1-\frac{1}{k+1}=1$

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