Geometria analítica EN-RJ-2014

por Rainier Dom 01 Jul 2018, 21:14

A soma das coordenadas do ponto A ∈ ℜ3 simétrico ao ponto B = (x,y,z) = (1,4,2) e m relação ao plano π de equação x - y + z - 2 = 0 é

a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 10

por **Jader** Qua 18 Jul 2018, 05:58

De acordo com a equação do plano

x-y+z - 2 = 0

Temos que o vetor normal ao plano é (1, -1, 1)

Esse vetor será diretor de uma reta perpendicular ao plano e que passa por B= (1, 4, 2), assim temos que:

(x, y, z) = (1, 4, 2) + t (1, -1, 1) = (1 +t , 4-t, 2+t)

Daí, o ponto de intersecção com o plano será:

x - y +z - 2 = 0
x = 1+t
y = 4-t
z = 2+t
Portanto
(1+t) - (4-t) + (2+t) - 2 = 0 => 3t = 3 => t = 1
x = 2
y = 3
z = 3

Assim, C = (2, 3, 3).

Note que C é ponto médio de AB, daí:

C = (A+B)/2 => 2C = A + B => A = 2C - B = 2(2, 3, 3) - (1, 4, 2) = (3, 2, 4)

Portanto, 3+2+4 = 9.

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