Ache os inteiros positivos

por JoaoPedro Qui 23 Jun 2011, 16:38

Ache os inteiros positivos a e b tais que:

Ache os inteiros positivos Capturar

por **Agente Esteves** Qui 23 Jun 2011, 17:05

Vamos primeiro elevar ambos os lados ao quadrado.

5 + √24 = a + 2√ab + b

Agora, vamos fatorar 24. 24 = 2 * 2 * 2 * 3 = 4 * 6
Substituindo: 5 + 2√6 = a + 2√ab + b

Então, a soma de a com b deve ser 5 e o produto de a com b deve ser 6.

x² - 5x + 6 = 0
Δ = 25 - 24 = 1
x = (5 + 1) / 2 = 3
ou
x = (5 - 1) / 2 = 2

Logo, os números inteiros positivos que satisfazem a equação são 3 e 2.

Não costumo fazer cálculos assim e nem sei se está certo, mas tentei ajudar. =]

por **abelardo** Qui 23 Jun 2011, 18:21

$\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$(\sqrt{5+\sqrt{24}})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$

$5+\sqrt{24}=a+2\sqrt{a\cdot b} + b$

$5+\sqrt{2\cdot 2\cdot 2 \cdot 3}=(a+b)+2\sqrt{a\cdot b}$

$({\color{red} 2}+ {\color{Magenta} 3})+2\sqrt{ {\color{Red} 2} \cdot {\color{Magenta} 3}}=({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})+2\sqrt{{\color{Red} a}\cdot {\color{Magenta} b}}$

Os inteiros positivos são 2 e 3. O método do agente Esteves é mais elegante e ''geral'', já que com a equação do segundo grau ele pode trabalhar com os números reias... eu só fiz assim porque trabalhei com números inteiros e positivos, se o conjunto universo não fosse definido ficaria com a ideia do Esteves mesmo.

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