MOMENTO DE INÉRCIA

por luanah.souzza Sex 07 Jul 2017, 09:52

Galera, quem souber me ensina a resolver/entender essa questão:
Calcule o momento de inércia de uma lâmina homogênea de massa M em forma de anel circular, de raio interno r1 e raio externo r2, (b) Em relação a um diâmetro do anel. Verifique o resultado, nos casos limites de um disco e de um aro circular.
Resposta do livro: 1/4.M.(r1²+r2²)

por **Robson Jr.** Seg 17 Jul 2017, 16:23

O momento de inércia de um anel fino de massa m e raio R em torno de um diâmetro vale mR²/2.

Podemos imaginar a coroa circular do enunciado como a junção de vários anéis muito finos com raios variando de r1 até r2. Essa será a base do nosso cálculo.

Como a lâmina (coroa circular) é homogênea, sua massa está uniformemente distribuída pela superfície. A densidade superficial de massa vale:

$\small \sigma =\frac{m_{total}}{area}=\frac{M}{\pi(r_2^2 - r_1^2)}$

Se tomarmos um anel intermediário qualquer de raio r tal que r₁ ≤ r ≤ r₂, ele terá uma espessura dr. Portanto, sua área dA valerá:

$\small dA=\pi(r+dr)^2 - \pi r^2 \\ \Rightarrow \ dA = 2\pi rdr+(dr)^2 \\ \Rightarrow \ dA = (2\pi r + dr)dr$

Desprezando o termo infinitesimal dr frente ao termo finito 2πr:

$\small dA=2\pi rdr$

Portanto, a massa associada a esse anel é:

$\small dm=\sigma \ dA=\frac{M}{\pi(r_2^2 - r_1^2)} \ . \ 2\pi rdr \\\\ \Rightarrow \ dm=\frac{2Mrdr}{r_2^2 - r_1^2}$

E seu momento de inércia vale:

$\small dI=\frac{1}{2}mr^2 \\\\\\ \Rightarrow \ dI = \frac{1}{2} \ . \ \frac{2Mrdr}{r_2^2 - r_1^2} \ . \ r^2 \\\\\\ \Rightarrow \ dI = \frac{M}{r_2^2 - r_1^2} \ r^3dr$

Finalmente, como a lâmina é composta pela junção dos vários anéis de raios indo de r = r1 até r = r2, o momento de inércia da lâmina será a soma dos momentos de inércia de cada anel (porque estamos tomando momentos sempre em relação ao mesmo eixo).

$\small I = \frac{M}{r_2^2 - r_1^2} \int_{r_1}^{r_2} r^3dr \\\\\\ \Rightarrow \ I = \frac{M}{r_2^2 - r_1^2} \left [ \frac{r^4}{4} \right ]_{r_1}^{r_2}=\frac{M}{r_2^2 - r_1^2} \frac{r_2^4 - r_1^4}{4} \\\\\\ \Rightarrow \ I = \frac{M}{r_2^2 - r_1^2} \frac{(r_2^2 - r_1^2)(r_2^2 + r_1^2)}{4} \\\\\\ \Rightarrow \ \boxed{I = \frac{M(r_2^2 + r_1^2)}{4}}$

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