QUESTÃO 28 DA UNICESUMAR 2017

por MariaEduardaMartins145872 1/5/2017, 8:54 pm

O desenho abaixo representa uma função polinomial do segundo grau com lei de formação y = α(x – 3)(x – 11) e uma reta r que passa pelo vértice da parábola correspondente a essa função e por uma de suas raízes.

Se o triângulo OAB têm área 9/2 então o coeficiente α vale?

por Victorh0616 1/5/2017, 10:01 pm

A forma fatorada da função quadrática é a(x-x1)(x-x2) sendo x1 e x2 as raízes da equação
x1 = A = 3
B = ?
S = A.B/2 ----> 9/2 = 3.B/2 ----> B = 3

y = ax²+bx+c
x1 + x2 = -b/a ----> 14 = -b/a ---> -b = 14a
x1.x2 = c/a --------> 33 = c/a -----> c = 33a

A reta r passa pelo vértice da parábola, no ponto (-b/2a; -(b²-4ac/4a)
Xv = 14a/2a = 7
Yv = -(196a² - 4(a)(33a)/4a) = -64a²/4a = -16a
(Xv, Yv) = (7,-16a)

y= mx + n
y=m(A) + B
0=m(3) + 3 ---> m = -1 ----> y=-1x + 3

-16a = -1(7) + 3
a = 4/16 = 1/4

por **Elcioschin** 1/5/2017, 10:29 pm

Victor

Deve haver algum erro de sinal nas suas contas: a parábola tem a concavidade volta para cima, logo devemos ter a > 0 (sua solução deu a = - 1/4)

por Victorh0616 1/5/2017, 10:35 pm

Obrigado, já corrigi

por **Giovana Martins** 1/5/2017, 10:40 pm

Outro modo. A reta passa pelo ponto (3,0) e pelo vértice V da parábola. A parábola é um "elemento" matemático simétrico, logo, a ordenada do vértice da parábola é dada pela média aritmética das raízes da função polinomial. Sendo assim: x_V=(3+11)/2 -> x_V=7. Logo, V(7,k).

A=BO.AO/2 -> 9/2=BO.3/2 -> BO=3

tg (BÂO)=m=BO/AO=3/3=1, em que m é o coeficiente angular da reta. Note que a reta é decrescente, então, m=-1. Equação da reta:

y-0=m.(x-3) -> y=(-1).(x-3) -> y=-x+3

Para V(7,k) -> k=-7+3 -> k=-4 -> V(7,-4)

Para V(7,-4): -4=α.(7-3).(7-11) -> -4=α.(-16) -> α=1/4

Se houver dúvidas, avise.