oscilador harmônico simples

por sodre Sáb 16 Jul 2016, 09:50

uma partícula move-se como um OHS e tem velocidade V₁ em X₁ e V₂ em X₂. determine a frequência e a amplitude do movimento em termos dessas quantidade.

por Pedro Prado Sáb 16 Jul 2016, 14:18

Sejam as funções (genéricas) que definem a oscilação do corpo:

$\\x(t)=A \cos{(wt+\phi )}\\\\v(t)=-wAsen(wt+\phi )$

Do enunciado:

$\\x1=A \cos{\alpha }\therefore cos\alpha =\frac{x1}{A}\\\\v1=-wAsen\alpha\therefore sen\alpha =\frac{-v1}{wA}\\\\cos^2{\alpha }+sen^2{\alpha }=1\\\\\frac{x^2}{A^2}+\frac{v1^2}{w^2A^2}=1$

Analogamente, temos:

$\\\frac{x2^2}{A^2}+\frac{v2^2}{w^2A^2}=1$

Igualando-as

$\\\frac{x2^2}{A^2}+\frac{v2^2}{w^2A^2}=\frac{x1^2}{A^2}+\frac{v1^2}{w^2A^2}\therefore w^2=\frac{v2^2-v1^2}{x1^2-x2^2}\rightarrow 2\pi f=\sqrt{\frac{v2^2-v1^2}{x1^2-x2^2}}\\\\$\boxed{f=\frac{1}{2\pi}\sqrt\frac{v2^2-v1^2}{x1^2-x2^2}}$

Mas, note que:

$\frac{x1^2}{A^2}+\frac{v1^2}{w^2A^2}=1\therefore A=\frac{x1^2w^2+v1^2}{w^2}$

Manipulando algebricamente:

$\boxed{A=\sqrt{\frac{(x1v2)^2-(v1x2)^2}{v2^2-v1^2}}}$