EFOMM 2011 - Função

por Joy.Cristina135 Dom 03 Jul 2016, 13:47

Seja a função f: Z→Q (Sendo Z o conjunto dos números inteiros e Q o conjunto dos números racionais) com a seguinte propriedade definida por f(x-1)+1 = [f(x-1)-1] / f(x) . Sabendo-se que f(0) = 4, o valor de f(1007) é igual a?
Resposta: - 5/3

Shocked

por **Ashitaka** Dom 03 Jul 2016, 16:14

f(x)f(x-1) + f(x) = f(x-1) - 1
f(x) = [f(x-1) - 1]/[f(x-1) + 1] = [-2 + f(x-1) + 1]/[f(x-1) + 1]
f(x) = 1 - 2/[f(x-1) + 1]

x = 1, f(1) = 3/5
x = 2, f(2) = -1/4
x = 3, f(3) = -5/3
x = 4, f(4) = 4
x = 5, f(5) = 3/5

A função é periódica.
1007 = 4k + 3, portanto, 1007 para no terceiro valor, que equivale a f(3) = -5/3.

por Débora Pianezzer Ter 05 Jul 2016, 16:07

Não entendi porque -2 na divisão.

por Indiano Qua 18 Dez 2019, 06:49

Bom dia.
Não consegui entender a questão. Alguém poderia me explicar, por favor.

por **Elcioschin** Qua 18 Dez 2019, 11:04

É bem simples

...........f(x - 1) - 1 .... f(x - 1) + 1 - 2
f(x) = -------------- = ------------------
......... f(x - 1) + 1 ....... f(x - 1) + 1

Basta agora separar em duas frações:

..................... 2
f(x) = 1 - -------------
.............. f(x -1) + 1

O valor de f(x) se repete a partir do 5º termo, logo temos PA de razão 4:

1º 5º 9º ......... 1005º
2º 6º 10º ....... 1006º
3º 7º 11º ....... 1007º
4º 8º 12º .......