Duvida - Fluxo e campo elétrico

A e B são duas distribuições planas infinitas de cargas, com densidades eletricas superficiais \sigma_{A} e \sigma_{B} , finitas, uniformes e inalteradas durante toda a experiencia. A distância entre os planos de cargas é d₁=5,0 cm e a dpp entre eles é U=1,0.10³ V. Uma esfera de massa m=1,0 g e quantidade de carga q=2 \muC encontra-se suspensa entre os planos por meio de um fio isolante e inextensivel. Adote a aceleração da gravidade g=10 m/s² e permissividade dielétrica do vácuo \epsilon = 8,9.10^-12C²/N.m²



a)Calcule a intensidade da força de tração exercida pela esfera no fio de sustentação.

b) Acresscentando-se na experiencia as distribuições planas uniformes infinitas C e D, ortogonais a A e B, separadas pela distancia d₂=1,0 m, observa-se que a esfera passa a ocupar nova posição de equilibrio, na qual o fio de sustentação forma um angulo de 45° com a vertical. Calcule as densidades eletricas superficiais \sigma_{C} \rightarrow -\sigma_{D}.

Gabarito:

Spoiler:

a)

Analisando o sentido das forças atuando na partícula pode-se concluir que a tração no fio será igual a soma da força elétrica provocada pelo campo elétrico uniforme com a força peso.

T = (Fe1) + P

U = E.d (i)  ,   E = F/q (ii)

(ii) em (i) :

Fe1 = (U1)q / d = 10³ . 2.10^-6 / 5.10^-2 = 0,04 N

T = 0,04 + 0,01 = 0,05 N

b)

A densidade superficial entre as placas é dada pela soma do campo elétrico produzido por cada placa.

E2 = Ec + Ed, sendo    E = l l / 2

E2 = l l /

Analisando os vetores de força agindo na carga, temos que:

F2 = P + F1     ,             

F2 = 0,05 N

l l = F2 / q = 5.10^-2 . 9.10^-12 / 2.10^-6 = 2,2.10^-7 C / m²

A resolução do item b envolve o conhecimento de conceitos de Ensino Superior, a exemplo de densidade de cargas e demonstração do campo elétrico gerado por placas infinitas (demonstração não tão difícil, que pode ser feita tanto por integral quanto por Lei de Gauss, sendo a segunda forma mais fácil). Assumo que você, para estar postando questões desse nível de dificuldade, saiba qual é o campo elétrico gerado por tais placas de dimensões infinitas, portanto, minha resolução vai direto ao ponto; se não souber, basta me perguntar que lhe demonstro o que está escrito abaixo. Então, sendo E o campo elétrico gerado por cada uma das placas na vertical, E_T a soma de ambos, θ o ângulo de 45°, Fe₁ a força elétrica descoberta no item a pelo colega acima (força elétrica devida às placas na horizontal), e Fe₂ a força elétrica devida às placas na vertical:

E = σ/(2ε₀)
2E = E_T

E_T = σ/ε₀

Fe₂ = E_Tq
Fe₂ = σq/ε₀

Tsenθ = Fe₂
T = (mg + Fe₁)/cosθ
senθ(mg + Fe₁)/cosθ = Fe₂
tgθ(mg + Fe₁) = Fe₂

tgθ(mg + Fe₁) = σq/ε₀
σ = ε₀tgθ(mg + Fe₁)/q
σ = 2,225x10^-7 C/m²