Equação trigonométrica básica

Ao observarmos a equação proposta no enunciado, percebemos que o mesmo consiste em uma soma de seno e cosseno. Uma das formas, portanto, para resolvermos é utilizando o "Truque do triângulo retângulo", um artifício muito utilizado no fórum para resoluções desse tipo.
 O "Truque do triângulo retângulo", basicamente, consiste em transformar uma soma de seno e cosseno em apenas cosseno ou seno, a partir de uma substituição e uso de transformações trigonométricas.

 Passos do truque:
I) Monte um triângulo retângulo e escolha um dos ângulos agudos. Coloque o número que está multiplicando o seno como sendo a medida de um dos catetos, e o número que está multiplicando o cosseno como sendo a medida do outro. Calcule também a hipotenusa pois essa será importante.

II) Você irá calcular os seno e o cosseno desse triângulo retângulo, isolando o número que estava multiplicando o sin/cos na expressão dada pelo enunciado.



Agora, substituímos os "2" de 2.senx + 2.cosx = √6 convenientemente:


\\2\sqrt{2}.cos(\frac{\pi }{4}).sin(x) +2\sqrt{2}.sin(\frac{\pi}{4}).cos(x)=\sqrt{6}\\\\2\sqrt{2}(cos(\frac{\pi }{4}).sin(x)+sin(\frac{\pi}{4}).cos(x))=\sqrt{6}\\\\Sabendo\;que:\\\;sin(a+b)=sin(a).cos(b)+sin(b).cos(a)\\\\2\sqrt{2}.sin(\frac{\pi}{4}+x)=\sqrt{6}\\sin(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\sin(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{\sqrt{3}}{2}


Como o enunciado foi bem claro ao dizer que o arco está no primeiro quadrante, podemos escrever a igualdade: \boxed{sin(\frac{\pi}{4}+x)=sin(\frac{\pi}{3})}


Finalizando:
\\sin(\frac{\pi}{4}+x)=sin(\frac{\pi}{3})\\\\\frac{\pi}{4}+x=\frac{\pi}{3}\\\\\boxed{x=\frac{\pi}{12}}

Eu resolvi assim:
\\\sin{x}+\cos{x}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\(\sin{x}+\cos{x})^2=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\\\sin^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}=\frac{6}{4}\\1+\sin{2x}=\frac{3}{2}\\\sin{2x}=\frac{3}{2}-1\\\sin{2x}=\frac{1}{2}\\2x=\frac{\pi}{6}\\x=\frac{\pi}{12}

Não sei se é a mais rápida... mas foi a que vislumbrei