Subespaço vetorial

Determine se o seguinte conjunto é subespaço de R ⁿ




 S = {(x, y) ∈ R ² : x ² = y ²}.

Essa é uma questão de Álgebra Linear, assunto usualmente ministrado no 1º semestre dos cursos superiores de exatas.

O conjunto S é um subconjunto não vazio de R², portanto também o é de Rⁿ. Se S for fechado para soma (I) e para multiplicação por escalar (II), ele será um subespaço vetorial de R²; consequentemente, também será de Rⁿ.
 
Contudo, não é difícil ver que a condição (I) não é satisfeita. Contra-exemplo:

     (1, -1) pertence a S, pois 1² = (-1)²
     (1, 1) percente a S, pois 1² = 1²
     mas (1, -1) + (1, 1) = (2, 0) não pertence a S, pois 2² ≠ 0

Como o axioma de fechamento para a soma falha, S não é subespaço vetorial de R², tampouco de Rⁿ.

Obrigado.