Progressões

por Urmendel Qua 16 Dez 2015, 13:09

A soma dos termos de uma PA crescente é 16 e os valores do último termo "U"e da razão "r" estão determinados pelas equações:
U^3 - r^3 = 335; (U^2)r - U(r^2) = 70
Determinar o número de termos da progressão.
Resposta: 4.

por **Elcioschin** Qua 16 Dez 2015, 15:28

U³ - r³ = 335 ---> (U - r).(U² + r.U + r²) = 5.67

U - r = 5 ---> U = r + 5 ---> I

U² + r.U + r² = 67 ---> (r + 5)² + r.(r + 5) + r² = 67 ---> Calcule r e depois U

U = a1 + (n - 1).r ---> a1 = U - (n - 1).r ---> II

S = (a1 + U).n/2 ---> 16 = [U - (n - 1).r + U].n/2 ---> 2.U.n - r.n² + r.n = 32 ---> Equação do 2º grau: calcule n

por Urmendel Sáb 19 Dez 2015, 13:17

Elcioschin escreveu:U³ - r³ = 335 ---> (U - r).(U² + r.U + r²) = 5.67

Mestre Elcioshin, só, e somente só, dá pra fatorar uma expressão, que é igual a um determinado valor x, e igualar uma parte do produto da expressão fatorada à uma parte do produto de x fatorada, como foi feita nessa questão, somente se x pode ser fatorada em fatores primos?
Pergunto isso, porque encontrei no desenvolvimento de uma questão esta expressão: (ar² + ar)(a² + 5ar + 6r²) = 144.

por **Elcioschin** Sáb 19 Dez 2015, 17:46

Sim, e neste caso, em apenas dois fatores primos (se forem mais dá muito trabalho)

Fazendo corretamente as contas você encontrará a PA 1, 3, 5, 7 ---> com a1 = 1, a4 = 7, r = 2 e S = 16

Um modo mais fácil a partir da equação I ---> U - r = 5:

U².r - U.r² = 70 ---> U.r.(U - r) = 70 ---> U.r.5 = 70 ---> U.r = 14 ---> II

I em II ---> (r + 5).r = 14 ---> r² + 5.r - 14 = 0 ---> Raiz positiva ---> r = 2 ---> U = 7

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