Poderoso Lema

por Condensador Qui 15 Out 2015, 23:23

sejam a,b e c números reais não nulos(com soma não nula) tais que:
1/a + 1/b + 1/c= 1/(a+b+c).

Prove que também se verifica:

1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a^2015+b^2015+c^2015).
Disseram-me que se resolvia por essa fórmula : a²/x + b²/y + c²/z=(a+b+c)²/x+y+z(poderoso lema)
Alguém poderia me ajudar? Obrigado.

por **fantecele** Qui 20 Dez 2018, 15:45

(1/a + 1/b + 1/c) = (ab + ac + bc)/(abc) = 1/(a + b + c)
(a + b + c)(ab + ac + bc) = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c).bc = abc
(a + b + c).a.(b + c) + (a + b + c - a).bc = 0
(a + b + c).a.(b + c) + (b + c).bc = 0
(b + c)(a² + ab + ac + bc) = 0
(b + c)(a.(a + b) + c.(a + b)) = 0
(a + b).(a + c).(b + c) = 0

a = -b ou a = -c ou b = -c

Se a = -b:

$\\k=\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}\\\\k=-\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}\\\\k=\frac{1}{c^{2015}}\\k=\frac{1}{-b^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}\\\\k=\frac{1}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}$

Agora nos casos em que a = -c e b = -c se fazem usando a mesma ideia chegando sempre em:

$\\\frac{1}{a^{2015}}+\frac{1}{b^{2015}}+\frac{1}{c^{2015}}=\frac{1}{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}$

por **Elcioschin** Qui 20 Dez 2018, 17:48

Uma outra prova óbvia

Fazendo x = a²⁰¹⁵, y = b²⁰¹⁵, z = c²⁰¹⁵

1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z)

1/a²⁰¹⁵ + 1/b²⁰¹⁵ + 1/c²⁰¹⁵ = 1/(x²⁰¹⁵ + y²⁰¹⁵ + z²⁰¹⁵)

por **fantecele** Sex 21 Dez 2018, 00:15

Aaaa sim, tem esse caminho também, na hora que eu estava digitando ali eu tinha visto que no lado direito tava 1/(a+b+c)^2015, não sei como kkk, mas depois que reparei, já tinha digitado tanta coisa, deu pena de apagar, mas fica ai uma maneira de resolver caso o exercício pedisse para mostrar que 1/a^2015 + 1/b^2015 + 1/c^2015 = 1/(a+b+c)^2015, é praticamente aquilo ali que eu fiz, porém no final deve chegar em 1/(a+b+c)^2015.

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