Loop circular

por **Carlos Adir** Sex 02 Out 2015, 22:04

Relembrando a primeira mensagem :

Uma esfera de dimensões desprezíveis rola, a partir do ponto A, em um plano inclinado de altura h conforme mostra na figura. Ao passar pelo ponto B, começa um "loop" circular de raio de metade da altura. Desprezando o atrito e possíveis dissipações de energia e considerando que a esfera não gire ao redor de seu eixo, determine a altura máxima atingida pela esfera em função de h.
Loop circular - Página 2 5Gs5um3

Imagem anterior:

Imagem ampliada do loop:

Spoiler:

Uma questão pra quem quiser se divertir. Resposta em uma semana Very Happy

EDIT: Coloquei outra imagem, visto que o ângulo theta e o segmento CE estava gerando confusão.

por **Ashitaka** Dom 04 Out 2015, 20:48

Eu tinha entendido que pedia a altura máxima durante o loop, e considero que ao perder contato com a rampa já não está mais em loop (até tinha estranhado). Mas eu deveria ter tido o bom senso de que se tratava da altura máxima durante todo o percurso e não só durante o loop,foi culpa minha mesmo. Smile

por **Carlos Adir** Sáb 10 Out 2015, 20:56

Como prometido a resolução. Com um atraso, meu computador deu problema e não deu pra entrar antes.

Por conservação de energia, em um ponto na circunferência, temos que sua altura será H, e H = r . (1 - cos θ). Assim:
$\\ \mathrm{Energia \ antes = mgh} \\ \mathrm{Energia \ depois = \dfrac{mv^2}{2}+mgH} \\ \mathrm{\Rightarrow v^2 = 2g \left(h - \dfrac{h}{2} \left(1-cos \ \theta \right ) \right )=gh(1+cos \theta)}$
Mas para continuar em um movimento circular, é necessário que haja resultante centrípeta. Ou seja, a força resultante deve ser para o centro. A força resultante será dada por:
Loop circular - Página 2 ZAOilVT

$\\ \mathrm{Fr = N + P \cdot cos \left(\pi-\theta \right )} \\ \mathrm{N=Fr + P \cdot cos \theta}$
Como no momento da curva é necessário que sempre exista uma normal(pois a componente peso não é suficiente para a centrípeta), então N é sempre maior ou igual a zero, e no caso extremo - onde perde o contato com a curva - tem-se N = 0. Substituindo Fr = mv²/r, temos:
$\\ \mathrm{0=\dfrac{mv^2}{r} + mg \cdot cos \theta } \\ \mathrm{2g(1+cos \theta)+g \cdot cos \theta = 0 } \\ \mathrm{\Rightarrow cos \theta = \dfrac{-2}{3} \Rightarrow sen \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}}$
Neste momento, o bloco está a uma altura de 5h/6.

No momento em que perde o contato com a curva, inicia-se um movimento parabólico(lançamento balístico), com velocidade horizontal de v . cos θ e velocidade vertical de v . sen θ. Assim, a altura máxima será dada por:
$\\ \mathrm{h_{max}=\dfrac{5h}{6}+\dfrac{v^2 \cdot sen^2 \theta}{2g}=\dfrac{5h}{6} +\dfrac{\left[gh \left(1+\frac{-2}{3} \right )\right] \cdot \left[\frac{\sqrt{5}}{3} \right ]^2}{2g}=\dfrac{50h}{54}=\dfrac{25h}{27}}$

por Smasher Ter 27 Out 2015, 20:17

Olá Carlos,
Obrigado pela resolução! Mas, se me desculpar por incomodá-lo, poderia responder uma dúvida?
Não enxergo como, nesta passagem, foi substituída a força centrípeta. Como "sumiu" o r?
$Loop circular - Página 2 Gif$

por Smasher Ter 03 Nov 2015, 20:33

Alguém pode dar uma força? Estou entendendo isso aqui:
$Loop circular - Página 2 Gif$

por **Carlos Adir** Ter 03 Nov 2015, 21:32

Desculpe a demora a responder, não vi.

Lembre-se que h é a altura inicial. H é a altura no instante onde o ângulo vale θ. O que nos dá que h = 2r.
Então, como dito por ti:
$\\ \mathrm{0=\dfrac{{\color{Red} h}(1+cos \theta)}{r}+cos \theta} \\ \mathrm{0=\dfrac{{\color{Red} 2r}(1+cos \theta)}{r}+cos \theta} \\ \mathrm{cos \theta = \dfrac{-2}{3}}$

Mais alguma dúvida?