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Bolinhas de gude

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Mensagem por Elcioschin Seg 08 Nov 2010, 20:50

Um fabricante de bolinhas de gude embala o seu produto em caixas de madeira de forma cúbica, com tampa.
As arestas internas da caixa medem 10 cm e cada bolinha tem 1 cm de diâmetro.
Depois de colocadas as bolinhas na caixa, a tampa é pregada, sendo que o nível das bolas não pode ultrapassar as arestas superiores, isto é as bolinhas não podem ser forçadas pela tampa.

Pergunta-se: Qual é o número máximo de bolinhas que cabem na caixa?
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Mensagem por Medeiros Dom 14 Nov 2010, 22:08

olá Elcioschin.

Seja r = 0,5cm o raio das bolinhas.
Considere o preenchimento apenas da primeira camada da base da caixa; está claro que caberão 10×10 = 100 bolinhas nesta camada.
Ao preencher a segunda camada, as bolinhas irão se acomodar nos vãos formados a cada 4 bolinhas da base. Como temos 9 vãos em cada dimensão da base, teremos esta camada com 9×9 = 81 bolinhas.
Na terceira camada, voltaremos a ter 100 bolinhas acomodadas.

A questão que surge é: quantas camadas são possíveis na altura de 10 cm (= 20r, raio das bolinhas)?
Consideremos 4 bolinhas da base (1ª camada) e uma da 2ª camada no vão entre elas. Seus centros formam uma pirâmide equilátera de lado 2r. A altura desta pirâmide será h = r*raiz(2). Da 2ª para a 3ª camada, teremos também a formação dessas pirâmides com igual h.
Até aqui temos 3 camadas com altura total de 2h+2r. Ou seja, o número de pirâmides formadas (para acomodação das bolinhas) é igual ao nº total de camadas na caixa, menos um.

O nº total de camadas na caixa estará limitado a 10 cm, ou 20r. Considerando x o nº total de pirâmides com altura h, temos que:
20r = xh + 2r
xh = 18r ----> x = 18r/h ----> x = 18r/(r*raiz(2)) ----> x = 9*raiz(2) =~ 12,7 ==> x=12 (toma-se o menor inteiro)
Logo, o nº total de camadas possíveis dentro da caixa será: 12+1 = 13 camadas.

Como quer-se colocar o máximo possível de bolinhas na caixa, tomamos:
7 camadas com 10*10 bolinhas = 7*100 = 700
e
6 camadas com 9*9 bolinhas = 6*81 = 486

máximo de bolinhas = 700 + 486 = 1.186 bolinhas

abs.
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Mensagem por Elcioschin Seg 15 Nov 2010, 18:34

Medeiros

Solução perfeitamente correta. Meus parabéns!

O curioso desta questão é o seguinte:
Os incautos respondem de imediato que são 1 000 bolinas, constituídas de 10 camadas de 100 bolinhas cada uma.
Sugiro que façam então o seguinte: tentem arrumar a 2ª camada colocando cada bolinha exatamente em cima da que está embaixo. Veráo que é uma árdua tarefa: as bolinhas TENDEM a cair no vão entre as 4 bolinhas inferiores.
Isto significa que, após a 1ª camada estar pronta (apoiada no piso da caixa), se jogarmos AO ACASO 81 bolinhas dentro da caixa, e agitamos a caixa, elas tenderão, NATURALMENTE, a se acomodar nos 81 vãos existentes.
O mesmo acontece, estando a 2ª camada pronta (apoiada na 1ª camada): se jogarmos AO ACASO 100 bolinhas dentro da caixa, e agitarmos a caixa, elas tenderão, NATURALMENTE, a se acomodar nos 100 vãos existentes.
E assim por diante.
Isto demonstra claramente que a natureza segue a lei do menor esforço e tenta maximizar o número de bolinhas a serem armazenadas em cada caixa.
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