Derivada parcial de 2ª ordem-função composta

Bom dia, pessoal.
Uma dúvida que eu tenho:

Se eu tenho
z = f(x(t),y(t))

E quero a derivada parcial de segunda ordem:

\frac{\partial^2 z}{\partial t^{2}}

Sendo que toda vez que eu tento calcular eu chego a isto:

\frac{\partial^2 z}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^{2}} \cdot (\frac{\partial x}{\partial t})^{2} + \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial^2 x}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^{2}} \cdot (\frac{\partial y}{\partial t})^{2} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial t^{2}}

Quando na verdade a resposta correta seria esta:

\frac{\partial^2 z}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^{2}} \cdot (\frac{\partial x}{\partial t})^{2} + \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial^2 x}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^{2}} \cdot (\frac{\partial y}{\partial t})^{2} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial t^{2}} + 2 \cdot \frac{\partial x}{\partial t} \cdot  \frac{\partial y}{\partial t} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}

Mas eu já procurei no meu livro e na internet e não encontrei explicação para o surgimento dessa parcela:

2 \cdot \frac{\partial x}{\partial t} \cdot  \frac{\partial y}{\partial t} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}

Ficaria muito grato se alguém pudesse me explicar de onde vem isso e porque tem dx e dy embaixo.

Up!

De modo geral, se z = f( x(t), y(t) ), a derivada primeira de z em relação a t é:



Para o cálculo da derivada segunda de z em relação a t, tudo se passa como se ∂f/∂x, ∂x/∂t, ∂f/∂y e ∂y/∂t fossem funções isoladas (e são!). Veja:

 

Usando a regra de derivação de produto:



Agora, atenção: enquanto ∂x/∂t e ∂y/∂t são funções de uma variável (t), ∂f/∂x e ∂f/∂y são funções de duas variáveis ( x(t) e y(t) ); portanto, no segundo caso, será necessário aplicar lógica semelhante àquela usada na primeira derivada de z em relação a t. Teremos:



Substituindo as equações 2, 3, 4 e 5 na equação 1 e reorganizando:



Finalmente, usando o fato de que, para funções de classe C² (segunda derivada contínua), as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais: