Trigonometria,tangentes formando PG

por Lucas Frazão Ter 01 Set 2015, 19:10

Suponha que :tg(A-B)/tg A + (sen C)^2/(sen A)^2=1.
Prove que :(tg A,tg C,tg B) é uma PG

Grato desde já!

por **fantecele** Ter 29 maio 2018, 00:43

Lembrando que:
$\\sen^2x+cos^2x=1\\\\1+\frac{cos^2x}{sen^2x}=\frac{1}{sen^2x}\\\\1+\frac{1}{tg^2x}=\frac{1}{sen^2x}\\\frac{tg^2x+1}{tg^2x}=\frac{1}{sen^2x}$

$\\\frac{tg(A-B)}{tg A} + \frac{(sen C)^2}{(sen A)^2}=1\\\\\frac{tgA-tgB}{1+tgA.tgB}.\frac{1}{tg A} + \frac{(tg^2A+1).tg^2C}{(tg^2C+1).tg^2A}=1\\\\\frac{tgA-tgB}{tgA+tg^2A.tgB} + \frac{tg^2A.tg^2C+tg^2C}{tg^2C.tg^2A+tg^2A}=1\\\\\frac{tgA-tgB}{tgA+tg^2A.tgB} = \frac{tg^2A-tg^2C}{tg^2C.tg^2A+tg^2A}\\\\\frac{tgA-tgB}{1+tgA.tgB} = \frac{tg^2A-tg^2C}{tg^2C.tgA+tgA}$

$\\\\\frac{tgA-tgB}{1+tgA.tgB} = \frac{tg^2A-tg^2C}{tg^2C.tgA+tgA}\\\\tg^2A.tg^2C-tgB.tgA=-tg^2C+tg^3A.tgB\\tg^2A(tg^2C-tgA.tgB)+tg^2C-tgA.tgB=0\\(tg^2A+1).(tg^2C-tgA.tgB)=0\\\\tg^2A+1\neq 0\,\,\forall \,\,A\,\,\epsilon \,\,\mathbb{Z}\\\\tg^2C=tgA.tgB$

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