Geometria Analítica com limite.
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Geometria Analítica com limite.
por RamonLucas Sex 28 Ago 2015, 10:31
Prova de admissão à Escola Naval - 2006. Prova: Amarela.
Sejam r e s retas do plano tais que:
(i) r possui coeficiente angular positivo e não intercepta a curva de equação^{2}}{9}&space;-&space;\tfrac{(y&space;-&space;1)^{2}}{4} "\tfrac{(x - 2)^{2}}{9} - \tfrac{(y - 1)^{2}}{4}")
(ii) s é tangente ao gráfico da função da função real f definida por f(x) = e(x²-1) .
+ ln [ 1 + (x-1)⁴] no ponto P (1,1).
Se I é o ponto de interseção de r e s, então a soma de suas coordenadas vale
(A) 4/25
(B) 11/17
(C) 12/25
(D) 21/25
(E) 16/17
Sejam r e s retas do plano tais que:
(i) r possui coeficiente angular positivo e não intercepta a curva de equação
(ii) s é tangente ao gráfico da função da função real f definida por f(x) = e(x²-1) .
Se I é o ponto de interseção de r e s, então a soma de suas coordenadas vale
(A) 4/25
(B) 11/17
(C) 12/25
(D) 21/25
(E) 16/17
RamonLucas- Estrela Dourada
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Re: Geometria Analítica com limite.
por petras Qua 26 Abr 2017, 14:03
Compartilho resolução do colega "Caio Guimarães"
A questão tem o enunciado INCORRETO e portanto deverá ser ANULADA. Repare que a primeira informação diz que r possui coeficiente angular positivo e nao intercepta a hiperbole de equação dada. Fazendo o grafico percebemos facilmente que existem infinitas retas que atendem à essa condição, ou seja o problema tem infinitas respostas. O enunciado deveria ser reformulado da seguinte forma:
(i) r é a assintota de coeficiente angular positivo da hiperbole de equação: (x-2)²/9 - (y-1)²/4 =1
Dessa forma:
i) para a hipérbole do tipo x²/a² -y²/b² =1 as assintotas são as retas: y=+- bx/a . Para hipérboles transladadas basta transladar a reta: (y-yo) =+-b.(x-xo)/a .
A assintota de coeficiente angular positivo será:
(y-1)=2(x-2)/3 => 3y-3 = 2x-4 => 3y = 2x -1 é a equação de r
ii) f´(x) = (2x).e^(x²-1).sqrt(3x-2) + e^(x²-1).(3/2sqrt(3x-2)) + [1/(1+(x-1)^4)]. (4.(x-1)³)
f´(1)= 2.e^0.sqrt1 + e^0.(3/2)= 7/2
Logo a reta tangente em (1,1) tem coeficiente angular 7/2. Sua equação será:
(y-1)=(7/2).(x-1) => 2y-2 = 7x- 7 => 2y= 7x -5
De (i) e (ii) queremos a interseção entre r e s:
3y= 2x-1
2y=7x-5
Logo:
x = 13/17 => y= 3/17
I(13/17,3/17)
Portanto: x + y =16/17
A questão tem o enunciado INCORRETO e portanto deverá ser ANULADA. Repare que a primeira informação diz que r possui coeficiente angular positivo e nao intercepta a hiperbole de equação dada. Fazendo o grafico percebemos facilmente que existem infinitas retas que atendem à essa condição, ou seja o problema tem infinitas respostas. O enunciado deveria ser reformulado da seguinte forma:
(i) r é a assintota de coeficiente angular positivo da hiperbole de equação: (x-2)²/9 - (y-1)²/4 =1
Dessa forma:
i) para a hipérbole do tipo x²/a² -y²/b² =1 as assintotas são as retas: y=+- bx/a . Para hipérboles transladadas basta transladar a reta: (y-yo) =+-b.(x-xo)/a .
A assintota de coeficiente angular positivo será:
(y-1)=2(x-2)/3 => 3y-3 = 2x-4 => 3y = 2x -1 é a equação de r
ii) f´(x) = (2x).e^(x²-1).sqrt(3x-2) + e^(x²-1).(3/2sqrt(3x-2)) + [1/(1+(x-1)^4)]. (4.(x-1)³)
f´(1)= 2.e^0.sqrt1 + e^0.(3/2)= 7/2
Logo a reta tangente em (1,1) tem coeficiente angular 7/2. Sua equação será:
(y-1)=(7/2).(x-1) => 2y-2 = 7x- 7 => 2y= 7x -5
De (i) e (ii) queremos a interseção entre r e s:
3y= 2x-1
2y=7x-5
Logo:
x = 13/17 => y= 3/17
I(13/17,3/17)
Portanto: x + y =16/17
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