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Números Complexos Efomm 2015

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Mensagem por MarianaAraujoBrando Qui 23 Jul 2015, 17:59

Considere o numero complexo z1 diferente de 1, tal que z1 seja a solução da equação z^6 =1 com menor argumento positivo. A solução z2 da mesma equação cujo argumento é o triplo do argumento de z1, é igual a :

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Mensagem por _TNY_ Qui 23 Jul 2015, 18:32

Vamos chamar de w=z^6, assim temos:

|w|=1

sen(θ)=0

cos(θ)=1

portanto, θ=0º

Pela 2º fórmula de Moivre temos:

, com k=0,1,2,3,4,5 (as 6 soluções)

Para k=0:



k=1



k=2



k=3



k=4



k=5




Perceba que o k=1, é a solução de Z1 que apresenta o menor argumento positivo.
Então 

Z2 é a solução de z tal que seja o triplo do argumento de z1, isso ocorre somente para k=3.
Assim   = -1

É isso aí, não têm alternativas nem gabarito?
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Mensagem por MarianaAraujoBrando Qui 23 Jul 2015, 18:39

Tem sim, pelo gabarito a resposta é menos -1, vou tentar entender o raciocínio
Smile obrigada

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Mensagem por Ashitaka Qui 23 Jul 2015, 18:41

z1 = cis(π/3), ∴ z2 = cis(π) = -1.

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Mensagem por MarianaAraujoBrando Ter 28 Jul 2015, 16:00

Nao entendi porque porque o seno = 0
e o coseno = 1

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Mensagem por fantecele Ter 28 Jul 2015, 16:15

cosseno = 1 e seno = 0 é por causa do argumento do número complexo z = 1

z = a + bi    pode ser escrito como   z =|z|(cos(@) + isen(@)) 

para o z = 1         z = 1(cos(0) + isen(0)) :   cos(0) = 1 e sen(0) = 0

acho que deu para entender.

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Mensagem por letttrindade Qui 21 Maio 2020, 12:14

As contas não aparecem, somente os códigos, como proceder?

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Mensagem por Elcioschin Qui 21 Maio 2020, 12:29

Os cálculos do colega _TNY_ estão escritos em LaTeX. Eu estou vendo normalmente. Deve ser problema no seu PC.

Vou digitar a 1ª fórmula e depois vc faz os cálculos para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

z1 = 6√1.{cos[(0 + 2.k.pi)/6] + i.sen[(0 + 2.k.pi)/6]}

O importante á calcular para k = 1 e k = 3
Vc verá que k = 1 corresponde a um ângulo pi/3 e k = 3 a um ângulo pi

z1 = cospi + i.senpi ---> z1 = -1
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Mensagem por letttrindade Qui 21 Maio 2020, 14:22

Obrigada! Smile

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