Equação trigonométrica e módulo

por gaki Ter 30 Jun 2015, 11:25

Os valores entre 0 e 2pi que satisfazem a equação trigonométrica são:
2sen^2(x)+|sen(x)|-1=0

gab: x=pi/6; x=5pi/6; x=7pi/6; x=11pi/6

por gaki Ter 30 Jun 2015, 11:32

Eu fiz do seguinte jeito, aplicando a definição de módulo:
1º Caso: senx<0 .: |senx|= - senx, com a condição que pi< x <2pi
E chamando y=senx
Cai na equação 2y^2-y+1=0 que não tem solução

2ºcaso
Condição : senx>= 0 .: |senx|=senx
Cai na equção 2y^2-y+1, que tem raízes y=-1 e y=1/2

Daí que está o problema, o exercício considera quando y1=senx=-1 além da solução y2=1/2( que eu considerei e achei apenas x=pi/6 e 5pi/6), porém da condição de existência senx>0 portanto y1 não é uma solução?

por **Carlos Adir** Ter 30 Jun 2015, 12:16

Tem uma maneira mais fácil, sem os casos. Admita que y = |sen x|:
$\\ \mathrm{2 sen^2 x + |sen \ x| - 1=0} \\ \mathrm{2 |sen \ x|^2 + |sen \ x| - 1 =0} \\ \mathrm{y = |sen \ x|, \ ent\~ao:} \\ \mathrm{2y^2 + y - 1=0} \\ \mathrm{y = \dfrac{-(1)\pm \sqrt{(1)^2-4 \cdot (2) \cdot (-1)}}{2 \cdot (2)}} \\ \mathrm{y = \dfrac{-1 \pm 3}{4}} \\ \mathrm{Como \ y = |sen \ x| \Rightarrow y \ge 0} \\ \mathrm{y = \dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{1}{2}}$
$\\ \mathrm{|sen \ x | = y = \dfrac{1}{2}} \\ \mathrm{sen \ x = \dfrac{\pm 1}{2}}$
Equação trigonométrica e módulo TTZuuPZ

$\\ \mathrm{x_1 = \dfrac{\pi}{6}+2k\pi} \\ \mathrm{x_2 = \dfrac{5 \pi}{6}+2k\pi} \\ \mathrm{x_3 = \dfrac{7 \pi}{6}+2k\pi} \\ \mathrm{x_4= \dfrac{11 \pi}{6}+2k\pi}$