Raio de curvatura

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O raio de curvatura da parábola no seu vértice é igual à distância entre a diretriz e o vértice (ou entre foco e vértice). Calcule esse raio (125 m).

N=P-F_cp

Acho que o gabarito não está correto (deveria ser R=125 m e N=680 N)

Eu tenho uma solução, mas achei confusa e um tanto estranha. Quer que eu poste ou quer tentar novamente antes, Euclides?

Euclides escreveu:O raio de curvatura da parábola no seu vértice é igual à distância entre a diretriz e o vértice (ou entre foco e vértice). Calcule esse raio (125 m).

N=P-F_cp

Acho que o gabarito não está correto (deveria ser R=125 m e N=680 N)

Cometi um engano: O raio de curvatura é igual à distância do foco à diretriz, o que dá 250 m e vai resultar nos 8400 N.

Espere, não mostre a solução ainda. Como sabe de imediato que o raio é a distância diretriz-vértice?

Ashitaka escreveu:Espere, não mostre a solução ainda. Como sabe de imediato que o raio é a distância diretriz-vértice?

Se bem me lembro o nome disso é "raio da circunferência osculante a uma curva", no caso, a parábola, em que esse raio é igual à distância da diretriz ao foco. Isso estava meio perdido em algum lugar da minha cabeça...

Plotei um exemplo

A solução através do raio do círculo osculante resulta puramente matemática. Como disse antes, isso era algo que estava nebulosamente no fundo da minha cabeça, como um remanescente de antigas aulas de topografia.

A curvatura de uma função num ponto dado é o inverso do raio da maior circunferência tangente à curva no ponto, dado por


 
e como no vértice f'(x)=0 temos simplesmente:

 R=\frac{1}{f''(x)}
_____________________________________

Fiquei depois pensando no assunto e vi que há uma forma de solucionar, efetivamente bem mais simples, com matemática elementar, com o uso criativo de conceitos do lançamento oblíquo.

Basta pensar que, no ponto mais alto, o que temos é a velocidade horizontal de um projétil que foi lançado obliquamente num planeta de aceleração da gravidade igual a a. No ponto mais alto a=v²/R.

Sendo a velocidade horizontal constante igual a 20 m/s e a distância do alcance de 100 m, o tempo de movimento teria sido de 5 s e, portanto, a subida teria levado 2,5 segundos. Calculamos a aceleração a avaliando uma queda livre daquela altura:

h=\frac{at^2}{2}\;\;\to\;\;5=\frac{a.2,5^2}{2}\;\;\to\;\;a=1,6\;m/s^2

e aí acaba a dificuldade do problema, já que

a=\frac{v^2}{R}\;\;\to\;\;R=250\;m

a partir daí esquecemos o suposto lançamento oblíquo e voltamos à situação real em que

N=mg-ma\;\;\to\;\;N=10000-1000\times 1,6\;\;\;\to\;\;\;N=8400\;N

Essa expressão do raio de curvatura parece interessante de ser lembrada, pela velocidade mesmo.
A propósito, a solução que disse ter aqui usa essa mesma ideia de lançamento oblíquo, mas ficou obscura de forma que não entendi. A sua ficou clara e concisa.
De fato, achei uma questão um tanto covarde para cair numa prova; não pela dificuldade mas por exigir essa sacada de imaginar o carro como se estivesse num lançamento (o que demanda tempo que não temos). Mas fazer o que, é bom que nos prepara para ter esse tipo de ideia. E já estou tão acostumado com "questões covardes" que nem estou me importanto mais hahaaha
Muito obrigado pela resposta, Euclides.

Euclides, será que pode postar novamente a equação do raio de curvatura? Está aparecendo como "invalid equation".