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IME 2001-Matemática.

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Ashitaka
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Mensagem por jango feet Qua 17 Jun 2015, 21:51

Olá de novo!

Então, a outra prova já está pronta, demorou pra caramba! creio que essa não vá demorar tanto, acho que é a matéria favorita do pessoal do fórum. Enfim espero sinceramente que este material sirva de ajuda até mesmo para meus concorrentes, haja vista a carência de soluções de provas antigas na internet:

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Questão 5.

Devemos provar que Z1 e Z2 são ortogonais se e somente se:

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Sejam 

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Sejam ainda:

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Então:

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Provando a volta, ou seja, admitindo que se os vetores são ortogonais então a igualdade é válida.

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Sabendo disto, reescrevemos a igualdade:

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Mensagem por jango feet Qua 17 Jun 2015, 22:19

Questão 9.

NaTORAlmente podemos perceber que sendo u o último algarismo de um número qualquer:

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Não fiz na calculadora, fiz assim, por exemplo para 6^5:

6^5=6^2.6^2.6=36.36.6

36.36=(30+6).6 +(30+6).30 <---Deste jeito fica bem mais fácil e rápido.

Perceba ainda que o último algarismo não será o número completo, mas sim o último algarismo do número 'grande'.


Última edição por jango feet em Qua 17 Jun 2015, 22:28, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : correção do christian)
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Mensagem por Ashitaka Qua 17 Jun 2015, 22:23

Acho que a questão 5 sai mais fácil por produto escalar, que já é uma relação de ida e volta. Não vou testar pra ver, mas fica aí a sugestão.

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Mensagem por Christian M. Martins Qua 17 Jun 2015, 22:23

Correção da questão 9: 9^(5) = 81.81.9 = 59.049
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Mensagem por murii1 Seg 23 Nov 2015, 21:43

sen [2arc cotg(4/3)] + cos[2arc cossec(5/4)]
sen[2arc tg(3/4)] + cos[2arc sen(4/5)]

sen/cos = 3/4
4sen/3 = cos
sen² + 16sen²/9 = 1
9sen²+ 16sen² = 9
25sen² = 9
sen = 3/5

Então:

sen[2arc sen(3/5) = 2. 3/5 .4/5 = 24/25

Ainda:
cos[2arc sen(4/5)] = cos[arcsen(2.4/5.3/5)] = cos [arcsen(24/25)] = 24²/25² + cos² = 1   // cos = 7/25

Porém, o sinal do cosseno deve ser alterado, pelo simples fato de este se encontrar no 2 quadrante (o arco seno do ângulo [4/5] ser maior que o
sen 45º)

24/25 - 7/25 = 17/25

Ufa.

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Mensagem por Adrian Alexander Qua 10 Fev 2016, 07:58

Segunda solução da questão 9:
O problema é equivalente a provar que k^5\equiv k \pmod{10}
Vamos provar que k^5\equiv k \pmod{2} e k^5\equiv k \pmod{5}
Como k^2\equiv k \pmod{2}:
k^5\equiv (k^2)^2\cdot k\equiv k^2\cdot k\equiv k\cdot k\equiv k \pmod{2}.

E pelo pequeno teorema de Fermat, k^5\equiv k \pmod{5}.

Portanto, k^5\equiv k \pmod{10}.
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Mensagem por Carlos Adir Qua 10 Fev 2016, 11:34

Questão 1

Como AB = AD = 1, então façamos BAC = beta; DAE = gamma.
Com isso, obtemos:
BC = x = sen beta
AC = y = cos beta
DE = z = sen gamma
AE = w = cos gamma

Consequentemente, temos:
AF = cos (beta + gamma) = cos (beta) * cos (gamma) - sen (beta) * sen (gamma) = wy - xz
De modo análogo, temos:
BF = sen (beta + gamma) = sen (beta) * cos (gamma) + sen (gamma) * cos (beta) = xw + zy

Agora temos que
tan(alpha) = cot(beta + gamma) = [cos(beta+gamma)]/[sen(beta+gamma)] = (wy-xz)/(xw+zy)


Questão 02.

Podemos ver que passa por quatro pontos, podemos concluir que é um polinômio de terceiro grau:
p(x)=ax³+bx²+cx+d

Assim, temos:
p(-2)=-11 ---> -8a+4b-2c+d=-11 (I)
p(-1)=0 ---> -a + b - c + d = 0 (II)
p(1)=4 ---> a + b + c + d = 4 (III)
p(2)=9 ---> 8a + 4b + 2c + d = 9 (IV)

Com isso temos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas. Podemos então resolve-lo. Uma maneira é montar a matriz e escalonar, mas há uma maneira mais facil.
Fazendo (II) + (III) obtemos b+d=2
Fazendo (I) + (IV) obtemos 4b+d=-1
Subtraindo essas equações, obtemos a resposta que: b=-1, consequentemente d=3.
Agora que achamos os valores de b e d, podemos substituir nas equações e obtermos:
4a+c=5 (V)
a+c=2 (VI)
Fazendo então (V) - (VI) achamos a=1; c=1
Podemos voltar nas equações para verificarmos:
(I) ---> -8(1)+4(-1)-2(1)+(3)=-11 -----> OK
(II) ---> -(1)+(-1)-(1)+(3) = 0 ----> OK
(III) ---> (1)+(-1)+(1)+(3) = 4 ---> OK
(IV) ---> 8(1)+4(-1)+2(1)+(3)=9 ----> OK

Ou seja, o polinômio é p(x)=x³-x²+x+3

Questão 3

Se temos
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E é divisivel por (x+a), então P(-a)=0, e então:
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Então é necessário que a parte que acompanha a^m seja nula, então:
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Assim, podemos analisar e ver que a parte dentro do parênteses nunca pode ser (-1), de tal modo que (-1)^m seja positivo, o que garante que m é par. Entao , basta analisar que 1/(-1)^(3n) seja equivalente a -1, isso indica que n é sempre da forma:

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Questão 4

Aplicando logaritmo na primeira equação, expandindo-a e abrindo também a segunda equação(além de fazer a mudança de base) obtemos:
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Da segunda equação obtemos que log x = -log y; ou seja, xy=1.
Apartir daí, obtemos que substitundo o valor de x na primeira euqação por 1/y temos:
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Questão 5

Tentei fazer como Ashitaka disse, mas percebi que algumas propriedades de vetores(como produto escalar) não é válida para complexos.
Podemos representar números complexos como vetores num plano(Não estudei algebra linear para saber se complexos são vetores, então neste caso não falaremos de vetores mas sim de pares ordenados), e algumas propriedades que são válidas para vetores também são validades para números complexos.
Vamos usar uma notação de complexos como um par ordenado, sendo a segunda coordenada a parte imaginária do número.
Por exemplo:
z=a+bi ≡ (a, b)
Algumas propriedades:
1) Soma:
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2) Multiplicação de complexos:
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Que neste caso, não segue a regra do produto escalar de vetores, mas podemos nos estender um pouco mais, pra outra representação:
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Que na multiplicação acima vemos:
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Assim, temos:
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Ou seja, agora que temos todas as operações necessárias, temos os números:
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E nossa expressão vira:
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QUestão 8

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____________________________________________
← → ↛ [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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