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Energia Interna - Demostração

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Mensagem por Thálisson C Sex 12 Jun 2015, 16:24

Imaginemos uma molécula de um gás ideal transladando em um recipiente, sua velocidade de translação (v) é a soma vetorial das componentes vx , vy e vz.

Dados estatísticos provam que: 

Além disso, podemos facilmente presumir que: 

Logo: 

Como estamos tratando de gás ideal o choque dessa molécula contra a parede do recipiente é elástico, logo se olharmos para a variação do momento considerando a velocidade Vx por exemplo:



Determinaremos a força média exercida por essa molécula, e pra isso vamos tomar o tempo médio entre colisões que é o tempo da molécula atravessar o recipiente de aresta L e retornar a posição inicial:



Substituindo:



Retirando vx , em função da velocidade :



Essa é a pressão média exercida por uma molécula, para a pressão total devemos multiplicar por (N) número de moléculas:



Trabalhamos aqui, com gás ideal monoatômico, por ser ideal, a energia interna se resume somente a energia cinética média de translação, uma vez que as moléculas não interagem entre si, ocasionando uma energia potencial igual a zero.

A energia interna é a soma das energias cinéticas com as energias potenciais, sendo esta última desprezada em gases ideais.

Outra observação importante é que de modo geral, a energia interna é definida assim:



Sendo "f" o número de graus de liberdade quadráticos.

Entende-se por grau de liberdade, a quantidade de parcelas que deve ser somada, para obtermos a energia total de um sistema.

Se essas parcelas forem quadráticas, devemos adicioná-las em f, por exemplo, um gás monoatômico tem 3 graus de liberdade quadráticos (vx,vy,vz) que correspondem a suas energias cinéticas onde a velocidade vem ao quadrado, portanto f = 3

Para gases diatômicos existem 5 graus de liberdade quadráticos, 3 de translação e 2 de rotação, portanto f = 5

Tal definição é conhecida como teorema da equipartição da energia.

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Mensagem por Smasher Sex 09 Out 2015, 14:37

Uma dedução da pressão média exercida pelo gás, sem o uso de dados estatísticos pode ser: 

Consideramos um recipiente cúbico de aresta L contendo N moléculas de um gás, que é perfeito e monoatômico. Podemos supor que, em média, o efeito produzido pelo movimento das molécula seria o mesmo se cada terça parte delas se movesse em cada uma das direções (Energia Interna - Demostração Gif).
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Sendo m0 a massa de cada molécula e v o módulo de sua velocidade média, vamos considerar uma molécula de movendo na direção Energia Interna - Demostração Gif, a partir da origem e em sentido oposto à face A2. Ao colidir elasticamente (segundo teoria cinética dos gases perfeitos) com a face A1, a molécula retorna, sofrendo uma variação de quantidade de movimento igual a 2 m0V.


Entre a ida e a volta da face A2, a molécula percorre um espaço de 2L a uma velocidade V,assim:
Energia Interna - Demostração Gif , que é o tempo levado entre a ida e a volta.

Para o número de vezes que a molécula colide com A1 em cada unidade de tempo,utilizamos uma regra de três e este número é dado por:
 Energia Interna - Demostração Gif
A variação da quantidade de movimento transmitida à face A1 , pela molécula, na unidade de tempo, é dada por 
Energia Interna - Demostração Gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Cfn_cm%20%5Ctiny%20%5Coverrightarrow%7B%5CDelta%20Q%7D%5C%2C%20%3D%5C%2C%20%5Cfrac%7BV%7D%7B2L%7D
Mas como na face A1 age, em média, 1/3 do número total N de moléculas, a variação total da quantidade de movimento transmitida à esta face, na unidade de tempo é:
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Pelo teorema do impulso, resulta que a força média sobre a esta face tem intensidade:
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A pressão do gás sobre a mesma face  é:
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Mas Vol = L³ é o volume do gás e m =N. m0 é a sua massa, então vem:
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Última edição por Smasher em Sex 09 Out 2015, 20:48, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Thálisson C Sex 09 Out 2015, 15:02

Opa, bem legal! Enriquecendo o tópico,  Very Happy

Quero só fazer uma ressalva quanto aos meus cálculos, ali na energia interna é mv²/

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