Energia Interna - Demostração
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Energia Interna - Demostração
Imaginemos uma molécula de um gás ideal transladando em um recipiente, sua velocidade de translação (v) é a soma vetorial das componentes vx , vy e vz.
Dados estatísticos provam que:
Além disso, podemos facilmente presumir que:
Logo:
Como estamos tratando de gás ideal o choque dessa molécula contra a parede do recipiente é elástico, logo se olharmos para a variação do momento considerando a velocidade Vx por exemplo:
Determinaremos a força média exercida por essa molécula, e pra isso vamos tomar o tempo médio entre colisões que é o tempo da molécula atravessar o recipiente de aresta L e retornar a posição inicial:
Substituindo:
Retirando vx , em função da velocidade :
Essa é a pressão média exercida por uma molécula, para a pressão total devemos multiplicar por (N) número de moléculas:
Trabalhamos aqui, com gás ideal monoatômico, por ser ideal, a energia interna se resume somente a energia cinética média de translação, uma vez que as moléculas não interagem entre si, ocasionando uma energia potencial igual a zero.
A energia interna é a soma das energias cinéticas com as energias potenciais, sendo esta última desprezada em gases ideais.
Outra observação importante é que de modo geral, a energia interna é definida assim:
Sendo "f" o número de graus de liberdade quadráticos.
Entende-se por grau de liberdade, a quantidade de parcelas que deve ser somada, para obtermos a energia total de um sistema.
Se essas parcelas forem quadráticas, devemos adicioná-las em f, por exemplo, um gás monoatômico tem 3 graus de liberdade quadráticos (vx,vy,vz) que correspondem a suas energias cinéticas onde a velocidade vem ao quadrado, portanto f = 3
Para gases diatômicos existem 5 graus de liberdade quadráticos, 3 de translação e 2 de rotação, portanto f = 5
Tal definição é conhecida como teorema da equipartição da energia.
Dados estatísticos provam que:
Além disso, podemos facilmente presumir que:
Logo:
Como estamos tratando de gás ideal o choque dessa molécula contra a parede do recipiente é elástico, logo se olharmos para a variação do momento considerando a velocidade Vx por exemplo:
Determinaremos a força média exercida por essa molécula, e pra isso vamos tomar o tempo médio entre colisões que é o tempo da molécula atravessar o recipiente de aresta L e retornar a posição inicial:
Substituindo:
Retirando vx , em função da velocidade :
Essa é a pressão média exercida por uma molécula, para a pressão total devemos multiplicar por (N) número de moléculas:
Trabalhamos aqui, com gás ideal monoatômico, por ser ideal, a energia interna se resume somente a energia cinética média de translação, uma vez que as moléculas não interagem entre si, ocasionando uma energia potencial igual a zero.
A energia interna é a soma das energias cinéticas com as energias potenciais, sendo esta última desprezada em gases ideais.
Outra observação importante é que de modo geral, a energia interna é definida assim:
Sendo "f" o número de graus de liberdade quadráticos.
Entende-se por grau de liberdade, a quantidade de parcelas que deve ser somada, para obtermos a energia total de um sistema.
Se essas parcelas forem quadráticas, devemos adicioná-las em f, por exemplo, um gás monoatômico tem 3 graus de liberdade quadráticos (vx,vy,vz) que correspondem a suas energias cinéticas onde a velocidade vem ao quadrado, portanto f = 3
Para gases diatômicos existem 5 graus de liberdade quadráticos, 3 de translação e 2 de rotação, portanto f = 5
Tal definição é conhecida como teorema da equipartição da energia.
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Thálisson.
Thálisson C- Monitor
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Idade : 26
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Re: Energia Interna - Demostração
Uma dedução da pressão média exercida pelo gás, sem o uso de dados estatísticos pode ser:
Consideramos um recipiente cúbico de aresta L contendo N moléculas de um gás, que é perfeito e monoatômico. Podemos supor que, em média, o efeito produzido pelo movimento das molécula seria o mesmo se cada terça parte delas se movesse em cada uma das direções ().
Sendo m0 a massa de cada molécula e v o módulo de sua velocidade média, vamos considerar uma molécula de movendo na direção , a partir da origem e em sentido oposto à face A2. Ao colidir elasticamente (segundo teoria cinética dos gases perfeitos) com a face A1, a molécula retorna, sofrendo uma variação de quantidade de movimento igual a 2 m0V.
Entre a ida e a volta da face A2, a molécula percorre um espaço de 2L a uma velocidade V,assim:
, que é o tempo levado entre a ida e a volta.
Para o número de vezes que a molécula colide com A1 em cada unidade de tempo,utilizamos uma regra de três e este número é dado por:
A variação da quantidade de movimento transmitida à face A1 , pela molécula, na unidade de tempo, é dada por
Mas como na face A1 age, em média, 1/3 do número total N de moléculas, a variação total da quantidade de movimento transmitida à esta face, na unidade de tempo é:
Pelo teorema do impulso, resulta que a força média sobre a esta face tem intensidade:
A pressão do gás sobre a mesma face é:
Mas Vol = L³ é o volume do gás e m =N. m0 é a sua massa, então vem:
Consideramos um recipiente cúbico de aresta L contendo N moléculas de um gás, que é perfeito e monoatômico. Podemos supor que, em média, o efeito produzido pelo movimento das molécula seria o mesmo se cada terça parte delas se movesse em cada uma das direções ().
Sendo m0 a massa de cada molécula e v o módulo de sua velocidade média, vamos considerar uma molécula de movendo na direção , a partir da origem e em sentido oposto à face A2. Ao colidir elasticamente (segundo teoria cinética dos gases perfeitos) com a face A1, a molécula retorna, sofrendo uma variação de quantidade de movimento igual a 2 m0V.
Entre a ida e a volta da face A2, a molécula percorre um espaço de 2L a uma velocidade V,assim:
, que é o tempo levado entre a ida e a volta.
Para o número de vezes que a molécula colide com A1 em cada unidade de tempo,utilizamos uma regra de três e este número é dado por:
A variação da quantidade de movimento transmitida à face A1 , pela molécula, na unidade de tempo, é dada por
Mas como na face A1 age, em média, 1/3 do número total N de moléculas, a variação total da quantidade de movimento transmitida à esta face, na unidade de tempo é:
Pelo teorema do impulso, resulta que a força média sobre a esta face tem intensidade:
A pressão do gás sobre a mesma face é:
Mas Vol = L³ é o volume do gás e m =N. m0 é a sua massa, então vem:
Última edição por Smasher em Sex 09 Out 2015, 20:48, editado 1 vez(es)
Smasher- Mestre Jedi
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Re: Energia Interna - Demostração
Opa, bem legal! Enriquecendo o tópico,
Quero só fazer uma ressalva quanto aos meus cálculos, ali na energia interna é mv²/2
Quero só fazer uma ressalva quanto aos meus cálculos, ali na energia interna é mv²/2
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Thálisson.
Thálisson C- Monitor
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