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Números Complexos - Caio Guimarães - IME

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Mensagem por Letícia Bittencourte Qua 10 Jun 2015, 23:04

Geeente, resolvi essa questão do ime q aparece no livroo do caio, mas minha resolução tá idferente da do livro.. queria saber se tá certa, e se n estiver, se poderiam corrigir por favor..

"Mostre que para todo n natural (2+i)^n ≠ (2-1)^n"


Seja z = 2 + i = |z|. cis θ então z* = 2 - i = |z|.cis (-θ), 0 < θ < 2pi (as outras voltas trigonométricas são equivalentes), vou chamar z* de conjugado de z pq n sei escrever o z com a barrinha em cima rs rs

Para n = 0, o caso é trivial (Wolfram: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2Bi%29%5E0+%3D+%282-i%29%5E0)
Suponhamos por hipótese que (z)^n = (z*)^n, n natural maior do que zero.
(z)^n = (z*)^n    ⇔ (|z|.cis θ)^n = (|z|.cis(-θ))^n   ⇔ [|z|^n. cis(nθ)] = [|z|^n. cis(-nθ)] ⇔ |z|^n. cis(nθ)/|z^n|. cis(-nθ) = 1
⇔ cis(nθ)/cis(-nθ) = 1 ⇔ cis(2nθ) = 1 = cis 0º    ⇔ 2nθ = 0º 
⇔ n = 0, o que contraria a hipótese de que n é natural maior do que zero.
Logo, (2+i)^n ≠ (2-i)^n para n natural diferente de zero.


E aí gente? Minha resolução está correta? 
Brigaada da ajuda pessoal, beeeijookkss Wink Wink Wink Wink
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Mensagem por Ashitaka Qua 10 Jun 2015, 23:40

Acredito que esteja porque também resolvi essa aí desse jeito hehehehe
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Mensagem por Letícia Bittencourte Qua 10 Jun 2015, 23:55

Obrigaada Ashitaka! Wink

Só por pergntar, vc quer ita? rsrs beijokss Wink
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Mensagem por Ashitaka Qua 10 Jun 2015, 23:58

Sim, e pelo visto você também, certo? hahaha
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