Aritmética

por Há-Isis Torres Ter 02 Jun 2015, 15:16

Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesas de jogos. Um desses dispositivos conhecido como "dado eletrônico" é um circuito elétrico que, de forma lógica, executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N, transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por 7; a seguir, apresenta o número R no visor como sendo o número sorteado. Ao apertar o botão do dado eletrônico, uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número R que aparecerá no visor é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5

(Gabarito: E)

por Diaz Qua 03 Jun 2015, 00:58

Vamos estudar o comportamento dessa divisão:

1/7 ''Não dá para dividir''
11/7 = 1 e resto 4
111/7 = 15 e resto 6
1111/7 = 158 e resto 5
11111/7 = 1587 e resto 2
111111/7 = 15873 e resto 0
1111111/7 = 158730 e resto 1
11111111/7 = 1587301 e resto 4
111111111/7 = 15873015 e resto 6
1111111111/7 = 158730158 e resto 5

tudo bem agora observe bem 111111/7 = 15873 e resto 0

dessa divisão conclui-se que 111111 é divisível por 7 então qualquer número com o número de ALGARISMOS múltiplos 6 e todos iguais a 1 também é divisível por 7

vejamos que temos 2002 algarismos
2002/6 é igual a 333 e resto 4

333.6 = 1998

agora sabemos que

11111......11111111111 (1998 algarismos 1)/7 deixa resto zero

porém ele quer com mais 4 algarismos

1111....1111111111111111 (2002 algarismos iguais a 1)/7 deixa resto 5

pq? se você for observar no nosso estudo dessa divisão depois que o resto fica igual a zero adicionando-se 4 algarismos 1 ao número ficamos com resto igual a 5

''111111/7 = 15873 e resto 0
1111111/7 = 158730 e resto 1
11111111/7 = 1587301 e resto 4
111111111/7 = 15873015 e resto 6
1111111111/7 = 158730158 e resto 5''

bom espero que tenha entendido, bons estudos e qualquer dúvida estou a disposição.

por **Carlos Adir** Qua 03 Jun 2015, 10:23

Uma outra maneira é lembrar o critério de divisibilidade por 1001(que é multiplo de 7). Assim, se um número deixa resto por 1001, também deixa o mesmo resto por 7(fazendo adaptações, um número pode deixar por exemplo resto 13 por 1001, e então deixa resto 6 por 7)
E o critério de divisibilidade por 1001 é:
$\\ \mathrm{a_5a_4a_3a_2a_1a_0 = 1001(a_5a_4a_3)-a_5a_4a_3+a_2a_1a_0 \equiv -a_5a_4a_3+a_2a_1a_0 \pmod{1001}} \\ \mathrm{E \ ent\~ao:} \\ \mathrm{\underbrace{11 \cdots111}_{2002} \equiv -1+111-\cdots+111-111+111 \equiv -1+111 \equiv 110 \pmod{1001}} \\ \mathrm{\underbrace{11\cdots 111}_{2002} \equiv 110 \equiv 5 \pmod{7}}$