(PAS-UnB 2006) Função Logaritmica?

A datação de hominídeos fósseis pode ser feita pelo decaimento radioativo de k^40, sistema em que se utilizam os mesmos princípios básicos da datação com C^14. O isótopo de k^40, ao desintegra-se, origina como átomo-filho o Ar ^40. O tempo de meia-vida do C^14 é de 5,7 x10³ anos, enquanto o K^40 tem meia-vida de 1,2 x 10^6 anos, tempo suficiente para cobrir a evolução humana. As quantidades de matéria de C^14  Mc(t)  e do K ^40 Mk(t), em determinada amostra, em função do tempo t, podem ser descritas pelas expressões: Mc(t) = Ae^-c0t e Mk(t)= Be^-c1t. A partir dessas informações, julgue os itens.

1- Considerando-se que amostra fóssil contenha, hoje, potássio-40 e argônio-40 na proporção 1:8, e admitindo-se que essa amostra contivesse, originalmente, apenas potássio-40, é correto afirmar que a idade desse fóssil, obtida pelo método de datação do k^40, é superior a 3,5 milhões de anos.


2. Para A>1 e n E N, com n≥2,  Mc(nt)= [ Mc(t)]^n

1-
Se o tempo de meia-vida do potássio é 1,2*10^6 anos, então Mk(1,2*10^6) = M(0)/2. Assim:
Be^0/2 = Be^(-c1*1,2*10^6) --> e^(-c1*1,2*10^6) = 1/2 --> -c1*1,2*10^6 = ln(1/2) --> c1 = -ln(1/2)/1,2*10^6

Portanto, Mk(t) = Be^((ln(1/2)/1,2*10^6)*t). Para t = 3,5*10^6 anos, temos:
Mk(3,5*10^6) = Be^((ln(1/2)/1,2*10^6)*3,5*10^6) = Be^(35/12)ln(1/2)

A proporção entre a quantidade restante de potássio, Mk(3,5*10^6), e a quantidade que decaiu, Mk(0) - Mk(3,5*10^6), é:
Mk(3,5*10^6)/(Mk(0) - Mk(3,5*10^6)) = Be^(35/12)ln(1/2)/[Be^0 - Be^(35/12)ln(1/2)] = e^(ln(1/2)^(35/12))/[1 - e^(ln(1/2)^(35/12))] = (1/2)^(35/12)/[1 - (1/2)^(35/12)]
= 1/[(1/(1/2)^(35/12)) - 1] = 1/[2^(35/12) - 1]

Como 1/[2^(35/12) - 1] > 1/[2^3 - 1] = 1/7 > 1/8 e essa proporção tende a diminuir com o passar do tempo, então concluímos que é correta a afirmação.

2-
Mc(nt) = Ae^(-c0*nt) = A[e^(-c0t)]^n ≠ [Ae^(-c0t)]^n = [Mc(t)]^n
Portanto, é falsa.