Função quadrática II

Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas as duas parábolas de equação y = x²-4x-5 e y = -(x²-4x-5)/2. Determine a área do menor retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados que engloba a área limitada pelas duas parábolas.

Se você imaginar duas parabolas com concavidade em sentidos opostos, voce vai perceber que o menor retângulo possível é aquele em que a altura é a diferença entre os vertices das parabolas, e a largura será a diferença entre os dois pontos onde as parabolas se encontram.
Então primeiro vamos igualar as duas equações e achar os pontos de interseção delas.

x²-4x-5 = -(x²-4x-5)/2
2x²-8x-10 = -x²+4x+5
3x²-12x-15 = 0
x²-4x-5 = 0
x'=5
x''=-1

Logo, a largura do retângulo será:
5-(-1) = 6

Agora vamos achar o ponto maximo e minimo das parabolas.

x²-4x-5
Ymin = -∆/4a = -(16+20)/4 = -36/4 = -9


-(x²-4x-5)/2 = 0
-x²/2+2x+5/2

Ymax = -∆/4a = -(4-4*-1/2*5/2)/-2 = (4-4*-1/2*5/2)/2 = 9/2

Então a altura será 9/2-(-9) = 27/2

Então a área será 6*27/2 = 27*3 = 81

Desculpe, CaiqueF, mas eu olhei o gráfico formado por elas diversas vezes e não estou convencido de qual seria o menor retângulo... se pudesse tornar isso mais óbvio ou fornecer uma solução mais analítica nesse sentido, agradeço!

Veja essa imagem com as duas parábolas plotadas e o retângulo destacado

CaiqueF, se fosse esse caso, eu concordo com você. Mas eu imagino que um retângulo ainda menor estaria na área em destaque na figura:

O que garante que não se trata dessa área?

"Determine a área do menor retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados que engloba a área limitada pelas duas parábolas."

Com isso entende-se que ele quer o menor retângulo possível que contenha toda aquela área que você marcou. Até porque, se fosse um retangulo qualquer dentro daquela área seria impossivel determinar, pq ele poderia ser de qualquer tamanho

Sim, justamente, eu havia entendido completamente o contrário. O problema é de matemática e eu erro no português, aff. Se tivesse entendido direito, teria resolvido. Interpretei que englobar a área que destaquei se referia a ele estar lá dentro e, assim, parecia impossível de resolver. Agora que você falou, não sei de onde tirei essa interpretação estranha.
Obrigado pelos esclarecimentos, CaiqueF.

Área limitada pelas duas parábolas, ou seja, se você pegasse um retângulo qualquer dentro dessa área amarela ela não seria limitada pela parábola porque a parábola é apenas essa curva que está tracejada, o que tem lá dentro não é a parábola em si, não há pontos lá dentro, então lá não é parábola , essa curva, essa forma. Se eu desenhar lá dentro uma retângulo, esse retângulo é arbitrário e não está limitando a área formada no encontro das parábolas, ou seja, curvas. Ou melhor dizendo, teria que ser uma área onde os limites são os pontos das parábolas, então, visualizando essa área formada podemos ver o menor retângulo que precisamos para colocar toda essa área dentro.

Olá, não querendo ressuscitar o tópico, mas alguém poderia me explica o pq da altura e da largura ser a variação das distancias, e não a soma delas..

Gabriel vitorio escreveu:Olá, não querendo ressuscitar o tópico, mas alguém poderia me explica o pq da altura e da largura ser a variação das distancias, e não a soma delas..

Não é variação das distâncias, mas das posições. As vairações foram feitas com pontos. A distância da posição 6 no eixo para a posição 2, é de 6-2 = 4. Somar 6+2 não faria sentido!