Raiz cúbica

por nandofab Dom 12 Abr 2015, 15:06

O valor de $\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}$ é:

a)5
b)6
c)7
d)8
e)9

Spoiler:

por PedroCunha Dom 12 Abr 2015, 15:49

Olá, nandofab.

\\ S = \sqrt[3]{45+29\sqrt2} + \sqrt[3]{45-29\sqrt2} \therefore \\\\ S^3 = 45 + 29\sqrt2 + 3 \cdot \sqrt[3]{45+29\sqrt2}^2 \cdot \sqrt[3]{45-29\sqrt2} + 3 \cdot \sqrt[3]{45+29\sqrt2} \cdot \sqrt[3]{45-29\sqrt2}^2 + 45 - 29\sqrt2 \therefore \\\\ S^3 = 90 + 3 \cdot \sqrt[3]{(45+29\sqrt2) \cdot (45-29\sqrt2)} \cdot \underbrace{(\sqrt[3]{45+29\sqrt2} + \sqrt[3]{45-29\sqrt2})}_{=S} \therefore \\\\ S^3 = 90 + 3 \cdot 7 \cdot S \therefore S^3 - 21S - 90 = 0 \\\\ \Leftrightarrow (S-6) \cdot (S^2 + 6S + 15) = 0 \Leftrightarrow S \in \mathbb{R}, S = 6

Att.,
Pedro

por nandofab Dom 12 Abr 2015, 19:26

Ótimo! vlw, Pedro!

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