Limite trigonométrico

por subjectnamehere Sex 03 Abr 2015, 20:22

Calcule o limite:

$Limite trigonométrico Gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%20%5C%20%5Cfrac%7Bx.senx%7D%7B2-2$

Resposta: 1

por **Carlos Adir** Sex 03 Abr 2015, 20:40

$\\ \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x \cdot sen \ x}{2 - 2 \cdot cos \ x}= \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x \cdot sen \ x}{2(1-cos \ x)} \cdot \dfrac{x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{sen \ x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^2}{2 \left(1-cos \ x \right )}= \\ = \left(1 \right ) \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^2}{2 \left(2 sen^2 \ \dfrac{x}{2} \right )}= \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^2}{4 \cdot \left(sen \ \dfrac{x}{2} \right )^2} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right )^2}= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x^2}{4 \left(\dfrac{x}{2} \right )^2 \left[\dfrac{sen \ \dfrac{x}{2}}{\left(\dfrac{x}{2}} \right ) \right ]^2}= \\ = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x^2}{x^2} \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{\left[\dfrac{sen \ \dfrac{x}{2}}{\left(\dfrac{x}{2} \right )} \right ]^2}= \lim_{x \rightarrow 0} 1 \cdot \dfrac{1}{(1)^2}= 1$

Ou por L'Hospital:

$\\ \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x \cdot sen \ x}{2 - 2 \cdot cos \ x}=\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{sen \ x + x \cdot cos x}{2 \cdot sen \ x}= \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{cos \ x + cos \ x + x \cdot (-sen \ x)}{2 \cdot cos \ x}= \\ = \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{2 cos \ x - x \cdot sen \ x}{2 \cdot cos \ x} = \dfrac{2}{2}=1$

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