Raiz quadrada

A calculadora de Esmeralda está quebrada: quando ela aperta o botão √, a calculadora faz, ao acaso, uma das duas seguintes operações: tirar a raiz quadrada (como deveria fazer) ou dividir o número por 100 (como não deveria fazer). Esmeralda digitou o número 201120112011 na calculadora e começou a apertar o botão √ repetidamente. Quantas vezes, no máximo, Esmeralda aperta o botão até aparecer pela primeira vez um número menor que 2? 


a)2 
B)4 
c)5 
d)8 
e)9 



Gabarito: D

Boa noite,

Solução dessa questão é mostrada na pág. do link:

http://www.obm.org.br/opencms/provas_gabaritos/docs/2011/1Fase_Nivel2_Gabarito_2011.pdf

19. (D) Se 1 10 10 k k N + ≤ < então 1 2 2 10 10 k k N + ≤ < enquanto que 2 1 10 10 100 k k N . − − ≤ < Daí, a operação de dividir por 100 reduz mais a quantidade de dígitos do que a operação de extrair a raiz quadrada quando o número possui mais que cinco dígitos. Após as 4 primeiras operações, o número que aparece na tela é no máximo 2011 20112011 , x = . Se nas próximas operações o número não for dividido por 100, precisaremos de no máximo quatro operações para obter um número menor que 2. Se na próxima operação dividirmos por 100, obteremos 20,1120112011 e nesse caso precisaremos de no máximo três operações para obtermos um número menor que 2.



Um abraço.

√x => x/100
0 <= x <= 100²
Ou seja, quando tirar a raiz de um número que está entre 0 e 100², ela ainda vai ser maior que o número dividido por 100. Então, se quisermos o número máximo de vezes, devemos diminuí-lo devagar: dividir por 100 até que ele esteja no intervalo entre 0 e 100² e depois ir tirando a raiz até que chegue em menor que 2.
201.120.112.011
             10.000
Se dividir o número 4 vezes por 100, teremos:
2.011,20112011 e finalmente ele está no intervalo desejado.
Tirando a raiz do número 2011 por 4 vezes (ou seja, elevando a 1/16), finalmente resulta um número menor que 2.

Logo, apertou-se 4x para dividir por 100 e 4x para extrair raízes quadradas, num total de 8 vezes.

Eu achei a questão na internet, mas eu não consegui visualizar nenhum dos links(incluindo este). Eu tentei transformar o número em uma potência de base 10, mas acho que não ajuda em nada. Agradeço aos dois.