(ITA 1991) Inequação Modular

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Mensagem por leochip em Sex Mar 27 2015, 02:22

Se A={x ε IR: |x²+x+1|≤|x²+2x-3|}, então temos:

a) A=[–2 , 1/2] U [4, +infinito[
b) A=[1/2 , 4]
c) A=[–3 , 1] 
d) A=]–infinito, –3] U [1, +infinito[ 
e) n.d.a.

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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Mimetist em Sex Mar 27 2015, 02:51

x^2+x+1>0 \ \ \forall x \in \ \mathbb{R}

Assim:

x^2+x+1\leq x^2+2x-3 \ \ \text{ou} \ \ x^2+x+1\leq -(x^2+2x-3)


Resolvendo o primeiro caso:

x \geq 4

Resolvendo o segundo caso:

2x^2+3x-2=(x-2)(x+\frac{1}{2}) \leq 0 \iff x \geq -2 \ \ \text{ou} \ \ x \leq \frac{1}{2}

Unindo ambos os casos:

\boxed{A=\Big[-2,\frac{1}{2}\Big] \cup \Big[4,+\infty\Big]}

\boxed{\text{Alternativa (a)}}
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por leochip em Sex Mar 27 2015, 09:53

Não teria que ser feito um Varal com estudo da interseção da solução dada pelas raízes da equação |x²+2x-3| ?

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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Mimetist em Qua Abr 01 2015, 13:41

Eu digitei errado um trecho acima, não havia notado e os sinais ficaram invertidos:

Onde se lê:

2x^2+3x-2=(x-2)(x+\frac{1}{2}) \leq 0 \iff x \geq -2 \ \ \text{ou} \ \ x \leq \frac{1}{2}

Leia-se:

2x^2+3x-2=2(x+2)(x-\frac{1}{2}) \leq 0 \iff x \geq -2 \ \ \text{ou} \ \ x \leq \frac{1}{2}

Quanto a sua pergunta, apenas separamos os casos necessários a serem analisados, como disse acima, a expressão do lado esquerdo é positiva para qualquer x real, então o módulo não é necessário, já a expressão da direita, dois casos são possíveis e, portanto, foram considerados.


Última edição por Mimetist em Qui Abr 02 2015, 11:09, editado 1 vez(es)
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por leochip em Qui Abr 02 2015, 08:12

Obrigado pela ajuda.

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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Elcioschin em Qui Abr 02 2015, 08:53

Faltou apenas um 2 n a equação acima (embora isto não vá alterar a resposta):

2x² + 3x - 2 = 2.(x + 3).(x - 1/2) ≤ 0
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Mimetist em Qui Abr 02 2015, 11:09

De fato, Élcio, obrigado.

Havia dividido ambos os lados por dois e não havia notado esse trecho.  Corrigido.
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Davi Paes Leme em Sab Fev 18 2017, 20:46

Estou com duas dúvidas no tópico: 

- a primeira equação não intercepta o eixo das abscissas. Como foi determinado x>4 ? 

- a segunda equação é x^2 + 2x -3. Porém a resposta se baseou na equação 2x^2 + 3x - 2. Alguma operação foi suprimida, pois não entendo como chegou até aí.
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Elcioschin em Sab Fev 18 2017, 21:10

1) Apenas resolvendo a equação:

+ x + 1 ≤ + 2.x - 3 ---> x + 1 ≤ 2.x + 3 ---> 4 ≤ x

2) x² + x + 1 ≤ - (x² + 2.x - 3) ---> x² + x + 1 ≤ - x² - 2.x + 3 --->

2.x² + 3.x - 2 ≤ 0 ---> Resolva
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por ChanDavid171 em Sex Fev 09 2018, 20:46

Tenho uma dúvida, como ficaria caso a parte esquerda não fossa positiva para todo x?
No caso, quais seriam as considerações necessárias quanto aos intervalos para negativo e positivo?

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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por Elcioschin em Sex Fev 09 2018, 20:51

Ai seriam 4 casos para analisar:

a) 1º membro > 0 e 2º membro > 0
b) 1º membro > 0 e 2º membro < 0
c) 1º membro < 0 e 2º membro > 0
d) 1º membro < 0 e 2º membro < 0
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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

Mensagem por ChanDavid171 em Sex Fev 09 2018, 21:18

entendido, muito obrgd  Very Happy

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Re: (ITA 1991) Inequação Modular

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