Indução

por nandofab Sex 20 Mar 2015, 01:36

Para n pertencente aos naturais - { 0 } e n>= 2, prove que $1 + \tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{1}{\sqrt{4}} + ...+ \tfrac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$

por nandofab Sex 20 Mar 2015, 01:54

Galera, consegui fazer. Para não desfazer o post, vou postar minha ideia. Fiz o seguinte: provei para n = 2. Depois, n = k. Para n = K +1, somei raiz de K+1 aos dos lados. Assim, ficou :

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \sqrt{k+1}$

Mas, como ( o que matou a questão foi isso) $\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

, então,ao substituirmos , percebemos que vale para k + 1! Logo, pelo PIF, está provado.

Se alguém tiver outra ideia, por favor, poste!

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