Unicamp- circunferência

12. (Unicamp) Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano são dados o ponto (5, -6) e o círculo x^2+y^2=25. A partir do ponto (5,-6), traçam-se  duas tangentes ao círculo. Faça uma figura representativa desta situação e calcule o comprimento da corda que une os pontos de tangência.
 

Consegui fazer a figura, mas não cheguei à resposta:
60V61
---------
61 


(Sessenta vezes a raiz de 61) dividido por 61.

Vi uma resolução que utilizava potência de ponto, mas não consegui entender o raciocínio. Se pudessem me ajudar, ficaria agradecida

outra forma mais trabalhosa:

x² + y² = 25

- distância do ponto P( 5, - 6 ) ao ponto de tangencia ( 5, 0 ) -> d = 6

- seja a circunferência de centro P( 5, - 6 ) e raio 6

( x - 5 )² + ( y + 6 )² = 36 -> x² - 10x + 25 + y² + 12y + 36 = 36 -> x² + y² - 10x + 12y + 25 = 0

sendo x² + y² = 25 temos:

25 - 10x + 12y + 25 = 0 -> - 10x + 12y + 50 = 0 -> x = ( 12y + 50 )/10


então:

...(12y + 50 ).........................144y² + 1200y + 2500
( ------------- )² + y² = 25 -> ---------------------- + y² = 25
........ 10.......................................... 100


244y² + 1200y = 0
.......................................................300
y*( 244y + 1200 ) = 0 -> y = 0 ou y = - ----
........................................................61

para y = - 300/61 -> x = 665/61 -> ( 665/61 , - 300/61 )

- distância entre os pontos P( 5, - 6 ) e ( 665/61 , - 300/61 )


d² = [ ( 665/61 ) - 5 ]² + [ ( - 300/61 ) - 0 ]² = ( 129600/61² ) + ( 90000/61² ) =

= 219600/61²


d = \/219600 / 61

.....\/(3600*61 )
d = ------------
...........61

.....60*\/61
d = --------
........ 61

d = ( 60*\/61 )/61

Jose Carlos escreveu:outra forma mais trabalhosa:

x² + y² = 25

- distância do ponto P( 5, - 6 ) ao ponto de tangencia ( 5, 0 ) -> d = 6

- seja a circunferência de centro P( 5, - 6 ) e raio 6

( x - 5 )² + ( y + 6 )² = 36 -> x² - 10x + 25 + y² + 12y + 36 = 36 -> x² + y² - 10x + 12y + 25 = 0

sendo x² + y² = 25 temos:

25 - 10x + 12y + 25 = 0 -> - 10x + 12y + 50 = 0 -> x = ( 12y + 50 )/10


então:

...(12y + 50 ).........................144y² + 1200y + 2500
( ------------- )² + y² = 25 -> ---------------------- + y² = 25
........ 10.......................................... 100


244y² + 1200y = 0
.......................................................300
y*( 244y + 1200 ) = 0 -> y = 0 ou y = - ----
........................................................61

para y = - 300/61 -> x = 665/61 -> ( 665/61 , - 300/61 )

- distância entre os pontos P( 5, - 6 ) e ( 665/61 , - 300/61 )


d² = [ ( 665/61 ) - 5 ]² + [ ( - 300/61 ) - 0 ]² = ( 129600/61² ) + ( 90000/61² ) =

= 219600/61²


d = \/219600 / 61

.....\/(3600*61 )
d = ------------
...........61

.....60*\/61
d = --------
........ 61

d = ( 60*\/61 )/61

Muito obrigado! Deu mais trabalho mas consegui entender

Medeiros escreveu:

Você lembra de como era sua resolução ? :X

Medeiros, amigo, poderia postar sua solução novamente para essa questão, por favor ? Não aparece aqui. E, se possível, poderia também fazer a figura representativa da situação ? Obrigado.

Resolução do Medeiros...

Spoiler:

Amigo, obrigado por postar. Nossa, difícil de entender! Que questão difícil!