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Encontrar polinômio divisível por outro

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Mensagem por Ashitaka Dom Mar 15 2015, 12:39

Encontrar o polinômio P(x) de coeficientes inteiros, de grau S, tal que P(x) + 10 é divisível por (x+2)³ e P(x) - 10 é divisível por (x-2)³.
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Mensagem por fantecele Dom Set 17 2017, 14:49

O polinômio não seria de grau 5? Irei fazer considerando grau 5.
Bem, se realmente for de grau S, pelo menos teremos uma resolução para um caso genérico  Razz .

Um primeiro método seria considerando P(x) = ax^5 + bx^4 + cx³ + dx² + ex + f e sair perceber que x = 2 é raiz tripla de P(x) - 10, com isso temos que P(2) - 10 = 0, P'(2) = 0, P''(2) = 0, de forma análoga com P(x) + 10 tiramos que P(-2) + 10 = 0, P'(-2) = 0, P''(-2) = 0, com isso, derive tudo, monte o sistema linear e resolva ele.

Um segundo método é dessa forma:

Temos P(x) + 10 = (x + 2)³.Q(x), P(x) - 10 = (x - 2)³.T(x)

Derivando a primeira equação: 
P(x) + 10 = (x + 2)³.Q(x)
P'(x) = 3(x + 2)².Q(x) + (x + 2)³.Q'(x)
P'(x) = (x + 2)²[(3.Q(x) + (x + 2).Q'(x)]
P'(x) = (x + 2)².A(x)

Derivando a segunda equação:
P(x) - 10 = (x - 2)³.T(x)
P'(x) = 3(x - 2)².T(x) + (x  2)³.T'(x)
P'(x) = (x - 2)²[(3.T(x) + (x  2).T'(x)]
P'(x) = (x - 2)².B(x)

Dai tiramos que (x - 2)² e (x + 2)² são fatores de P'(x) e sendo P(x) do 5° grau, P'(x) deverá ser do 4° grau, dessa forma, encontramos todas as raízes de P'(x) e então ele pode ser escrito da seguinte forma:
P'(x) = a.(x - 2)².(x + 2)²
P'(x) = a.(x^4 - 8x² + 16)

Para chegarmos a P(x) basta integrarmos P'(x) com relação a x.
P(x) = a.((x^5)/5 - (8x³)/3 + 16x + C)

Das duas primeiras equações tiramos que P(-2) = -10 e P(2) = 10.
Agora basta substituir esses valores em P(x) acima que você encontrará os valores de a e C e, consequentemente, P(x).

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Mensagem por Ashitaka Ter Set 19 2017, 22:29

Esse enunciado tinha erro, é de mais de 2 anos atrás, eu acho. Era grau 5, mesmo. Tá desenterrando minhas questões esquecidas por esporte? hahahaha provavelmente já as resolvi em algum ponto da minha vida posterior à postagem e, ainda que não, já não há mais necessidade. Agradeço de qualquer forma, imagino que deva ser um desenvolvimento pessoal também pra quem resolve Smile
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Mensagem por fantecele Qua Set 20 2017, 09:48

Hehe, estou resolvendo porque talvez possa vir ajudar alguém futuramente e, como estudo para o Enem, acabo caçando aqui algumas questões um pouco mais difíceis para não perder o costume.

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