Equação trigonométrica

Determine para quais valores inteiros de a a seguinte equação ,na variável x, tem soluções reais: sen(x)^4 - 2cos²(x) + a² = 0. 

Spoiler:

E está certo seu raciocinio. Mas lembre-se que inteiros são os negativos também, isto é, -1 é inteiro mas não é natural.

Outro raciocinio:

O intervalo que sen(x) atinge é [-1, 1], e então, o intervalo que sen(x)^4 atinge é [0, 1]
O mesmo ocorre com 2cos²(x) atinge é [0, 2]
Deste modo, podemos "estimar" o intervalo que a função chega:

Contudo, podemos perceber que quando sen(x) é máximo, cos(x) é mínimo. Ou seja, o intervalo real é:

Veja que a² é sempre positivo, então qualquer valor que escolhermos de a, subiremos a função.

Ou seja, se somarmos a² em todos os lados, temos:

Podemos perceber que o ponto mínimo que chega é -2 + a². Deste modo, como queremos que tenha pelo menos uma solução real, então:

Deste modo, como queremos somente inteiros, os inteiros que estejam no intervalo 

São -1, 0 e 1. Que é a resposta.

Muito Obrigado! só uma dúvida: A interpretação da seguinte linha:   =>        é essa:  a função deve cortar o eixo das abcissas pelo menos uma vez para que haja solução. Logo, -2 + a² <= 0.       ??? 

Obrigado!

Isso, o mesmo ocorre com a equaçaõ de segundo grau(daqui a pouco falo disto).
Isto é, pra que sen^4(x)-2cos^2(x)+a² toque no eixo das abcissas(Eixo X) é necessário que o ponto de mínimo seja 0 ou menor que 0.
E como o mínimo é -2+a², então para satisfazer acima é necessário a²-2<=0

Por exemplo, em uma equação de segundo grau.
Temos a equação da parábola x²+2x+c.
Pra que tenhamos solução, pelo menos uma, é necessário que:
x²+2x+c<=0
Pois ela tocará no eixo X ou passará.
Sabemos que pra existir raiz real(tocar o eixo X), ∆>=0
Utilizando na questão temos:
(2)²-4.1.c>=0 --> c<=1
Ou se quisermos resolver pela equação original:
x²+2x+c<=0
x²+2x+1<=1-c
|x+1|<=√(1-c)
Como o valor dentro da raiz deve ser sempre positiva, então:
1-c>=0 --> c<=1

Obrigado!