U.E.CE - 80

por Lucas Z Seg 16 Fev 2015, 10:58

Sejam $a,b,c\in \mathbb{R}$ tais que $a+b.cosx+c.cos2x=0$ para todo $x \in \left [ -\pi ;\pi \right ]$ . Então podemos afirmar que:
a) a+c=b+1
b) a=b+c
c) abc=1
d) a+b=c+1

Resp.: B

por **Carlos Adir** Seg 16 Fev 2015, 12:52

Vamos algumas conclusões meio óbvias:
Se a=b=c=0, então satisfaz a relação, podemos descartar a) c) d)
Restando a B, que é a opção.

Mas creio que nenhum satisfaça, por exemplo, se pegarmos alguns valores:
$\\ \begin{cases}x=0 \\ x=\dfrac{\pi}{4}\\ x=\dfrac{\pi}{2}\\ x=\pi \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a+b \cdot cos \ 0+c \cdot cos \ 2 \cdot 0 =0 \\ a+b \cdot cos \dfrac{\pi}{4}+c \cdot cos \ 2\cdot \dfrac{\pi}{4}=0 \\ a+b \cdot cos \dfrac{\pi}{2}+c \cdot cos \ 2 \cdot \dfrac{\pi}{2}=0\\ a+b \cdot cos \ \pi+ c \cdot cos \ 2 \cdot \pi=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a+b+c=0 \\ a+b \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ a-c=0 \\ a-b+c=0 \end{cases}$

por Lucas Z Seg 16 Fev 2015, 19:48

Obrigado, Carlos.

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