Expressão do ângulo θ

por luccaspps Dom 15 Fev 2015, 16:19

Uma aluna que estava visitando a exposição colocou-se de frente a um quadro de R metros de altura que se encontrava a L metros do piso (veja figura abaixo). Sejam d é a distância, em metros, da aluna à parede que contém o quadro e c é a distância, em metros, do piso da sala ao nível do olho da aluna. Qual a expressão da tangente do ângulo θ em relação as constantes reais d, c, R e L.

Expressão do ângulo θ 29vdyc6

GABARITO: A

por **Carlos Adir** Dom 15 Fev 2015, 17:10

Vamos dividir θ em dois ângulos, α e β, donde α=CDF e β=ADF
Podemos então estabelecer relações:
$\begin{cases}tan \ \alpha = \dfrac{R+L-c}{d}\\ tan \ \beta = \dfrac{c-L}{d} \end{cases}$
E sabemos a tangente da soma de dois ângulos:
$\\ tan \ \left(\alpha \pm \beta \right )=\dfrac{tan \ \alpha \pm tan \ \beta}{1\mp tan \ \alpha \cdot tan \ \beta}$
Substituindo temos:
$\\ tan \ \theta=\dfrac{\dfrac{R+L-c}{d}+ \dfrac{c-L}{d}}{1 - \dfrac{R+L-c}{d}\cdot \dfrac{c-L}{d}}$
Resolvendo, obtemos:
$\\ tan \ \theta=\dfrac{dR}{d^2 - R(c-L)-(L-c)^2}$

Letra A

Corrigido.