Limites no Infinito

por L.Lawliet Sex 12 Dez 2014, 20:13

Sejam ƒ e "g" definidas em { [a;+oo) } e tais que ƒ ≥ 0 e g(x) > 0 para todo x ≥ a. Suponha que lim_x→+oo(ƒ(x)/g(x) )= L , L > 0. Prove que existe um r > 0 , r > a , tal que para todo x > r

$\frac{L}{2}.g(x)<f(x)<\frac{3L}{2}.g(x)$

Conclua daí que se lim_x→+oog(x)=0 , então lim_x→+oof(x)=0

por Man Utd Seg 15 Dez 2014, 01:27

Pela definição formal de limites no infinito:

$\\\\ x>r \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left|\frac{f(x)}{g(x)}-L \right|<\epsilon \\\\ x>r \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; -\epsilon<\frac{f(x)}{g(x)}-L <\epsilon \\\\ x>r \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; L-\epsilon<\frac{f(x)}{g(x)}<\epsilon+L \\\\ \text{Tome :} \; \epsilon=\frac{L}{2} \\\\ x>r \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \frac{L}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3L}{2}$

$\\\\ x>r \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \frac{L}{2} \cdot g(x)<f(x)<\frac{3L}{2} \cdot g(x)$

Então se $\\\\ \lim_{x \to +\infty} \; g(x)=L=0$ , temos que pelo teorema do confronto $\\\\ \lim_{x \to +\infty} \; f(x)=0$ .

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