Binômio de newton

por jaques104 Sáb 29 Nov 2014, 00:16

No desenvolvimento de $Binômio de newton Gif$ como um polinômio em X, o coeficiente de $Binômio de newton Gif$ é zero. Calcule a, e determine o coeficiente de $Binômio de newton Gif$ .

Resposta:

a = - 4/3 ; - 112/3

por **Thálisson C** Sáb 29 Nov 2014, 21:27

com certeza deve ter um jeito mais fácil, mas eu fiz assim:

desenvolvimento do binômio: $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} a^{n-p} \times b^{p}$
considere: a = 1-2x e b = ax²

resolvendo..

$\tiny \\(1-2x)^{4}(ax^{2})^{0} +4(1-2x)^{3}(ax^{2})^{1} + 6(1-2x)^{2}(ax^{2})^{2} + 4(1-2x)^{1}(ax^{2})^{3} + (1-2x)^{0}(ax^{2})^{4}$

repare que o exercício quer que associemos os expoentes de x sendo 3 e 4, portanto os dois últimos termos não nos interessam, uma vez que o expoente de x dará maior que 3 e 4.

vamos desenvolver os 3 primeiros:

$\\(1-2x)^{4}(ax^{2})^{0} +4(1-2x)^{3}(ax^{2})^{1} + 6(1-2x)^{2}(ax^{2})^{2} \\\\ (1-2x)^{4}+ (1-2x)^{3}4ax^{2} + (1-2x)^{2}6a^{2}x^{4}$

perceba que para seguir esse desenvolvimento devemos resolver os dois novos binômios de surgiram:

$\\(1-2x)^{4} = (2x)^{0} -4(2x)^{1} + 6(2x)^{2} - 4(2x)^{3}+ (2x)^{4}\\\\ (1-2x)^{4} = 1 - 8x + 24x^{2} -32x^{3} + 16x^{4}\\--------------------------------\\ (1-2x)^3 = (2x^{0}) -3(2x)^{1}+ 3(2x)^{2} -(2x)^{3}\\\\ (1-2x)^3 = 1 - 6x + 12x^{2} - 8x^{3}$

vamos substituir esses valores encontrados na equação anterior:

$1 - 8x + 24x^{2} -32x^{3} +16x^{4} +4ax^{2}(1-6x +12x^{2}-8x^{3}) +6a^{2}x^{4}(1-2x)^{2}$

desenvolvendo tudo..

$\\1 - 8x +24x^{2} - 32x^{3} + 16x^{4} + 4ax^{2} - 24ax^{3} + 48ax^{4} - 32ax^{5} + (1 - 4x +4x^{2})6a^{2}x^{4}\\\\ 1 - 8x +24x^{2} - 32x^{3} + 16x^{4} + 4ax^{2} - 24ax^{3} + 48ax^{4} - 32ax^{5} + 6a^{2}x^{4} - 24a^{2}x^{5} + 24a^{2}x^{6}$

o termo de x³, a partir desse desenvolvimento:

$\\-32x^{3} -24ax^{3} = 0x^{3}\\ -32 -24a = 0\;\;\rightarrow \;\; a= -\frac{4}{3}$

o termo de x⁴, a partir desse desenvolvimento:

$\\ 16x^{4} + 48ax^{4} + 6a^{2}x^{4}$

substituindo a:

$16x^{4} - 64x^{4} + \frac{32}{3}x^{4} = - \frac{112}{3}x^{4}$

por jaques104 Dom 30 Nov 2014, 22:33

Pxiii kkk bem longo mesmo amigo, mas obrigado pela resolução.. entendi sim!!

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