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Divisibilidade (Colégio Naval)

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Mensagem por Harim Qui 13 Nov 2014, 21:38

Determine um número de 3 algarismos, múltiplos de 9 e 5, de modo que o resto de sua divisão por 11 seja 4.



Resp: 180 e 675
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Mensagem por Ashitaka Qui 13 Nov 2014, 23:53

Um jeito é listar os múltiplos de 45 de 3 algarismos, que não são muitos.
Divisibilidade (Colégio Naval) MtZG96t
Agora usa o critério de divisibilidade por 11 pra saber quem deixa resto 4.
Por ex, 180 deixa resto 4 pois 0+1-8 == -7 == 4 mod 11.

Outro modo:
Se você já soubesse congruência, daria pra fazer uma solução mais simples e analítica.

x == 4 mod 11
x == 0 mod 45 ---> x = 45k

45k == 4 mod 11
k == 4 mod 11 ---> k = 11p + 4

x = 45(11p+4) = 495p+180

Portanto os números que procuramos são de 3 algarismos e da forma
x = 495p + 180, com p inteiro. Os números que se encaixam nisso vem para p = 0 e p = 1, que são respectivamente 180 e 675.
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Mensagem por Harim Sex 14 Nov 2014, 08:15

Pô, valeu mano! Com aqueles videos eu já to aprendendo !
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Mensagem por Harim Sex 14 Nov 2014, 08:19

Ashitaka escreveu:
45k == 4 mod 11
k == 4 mod 11 ---> k = 11p + 4

Eu entendi que se k==4 mod 11 --> k=11p + 4

Mas não entendi como vc tirou essa conclusão a partir de 45k== 4 mod11
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Mensagem por ivomilton Sex 14 Nov 2014, 15:24

Harim escreveu:Determine um número de 3 algarismos, múltiplos de 9 e 5, de modo que o resto de sua divisão por 11 seja 4.



Resp: 180 e 675
Boa tarde, Harim.

Múltiplo de 9 e 5 deverá ser múltiplo de 45.
45x = 11y + 4 ........... (I)

11y = 45x - 4 ............ (II) → equação diofantina (2 incógnitas, 1 equação, raízes inteiras)

Resolvendo:
y = (45x - 4)/11
y = 45x/11 - 4/11 
y = 44x/11 + x/11 - 4/11
y = 4x + (x-4)/11

Como "x" e "y" devem ser inteiros, obviamente a fração final deverá fornecer quociente inteiro.
Assim, faremos a última fração igual a "m" (uma incógnita qualquer, à nossa escolha):
(x-4)/11 = m
x-4 = 11m
x = 4+11m ............... (III)

Aplicamos (III) em (II):
y = [45(4+11m) - 4]/11
y = (180 + 495m - 4)/11
y = (176 + 495m)/11
y = 16 + 45m ............ (IV)

Ora, "x" e "y", além de inteiros, também deverão ser positivos; portanto, vem:
→ 4+11m > 0 → 11m > -4 → m > -4/11 → m ≥ 0
→ 16+45m > 0 → 45m > -16 → m > -16/45 → m ≥ 0


Tabelinha:
m ___x=4+11m___y=16+45m
--------------------------------
0 ______ 4 _________ 16
1 _____ 15 _________ 61
2 _____ 26 ________ 106

A seguir, substituiremos esses valores de "x" e "y" na equação inicial (I):
45x = 11y + 4
45*4 = 11*16 + 4
180 = 176+4 

45*15 = 11*61 + 4
675 = 671 + 4

45*26 = 11*106 + 4
1170 = 1166 + 4

O último valor (1170) desprezaremos, pois não é um número de três algarismos!



Um abraço.
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Mensagem por Harim Sex 14 Nov 2014, 17:58

Obrigado sr Ivomilton !
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Mensagem por Ashitaka Sex 14 Nov 2014, 21:54

Harim escreveu:
Ashitaka escreveu:
45k == 4 mod 11
k == 4 mod 11 ---> k = 11p + 4

Eu entendi que se k==4 mod 11 --> k=11p + 4

Mas não entendi como vc tirou essa conclusão a partir de 45k== 4 mod11

Seja x o número.
x == 0 mod 11, isto é, x = 45k

x == 4 mod 11
como x = 45k, substituindo:
45k == 4 mod 11

Mas 45 é congruente a 1 mod 11, pois 45 = 44 + 1, ou seja, um múltiplo de 11 mais 1. Das propriedades das congruências, que derivam da propriedade do resto (que ele demonstra nos vídeos que te passei), sabemos que podemos substituir o 45 pelo resto que ele deixa (isto é, 1) então:

45k == 4 mod 11
k == 4 mod 11 ---> k = 11p + 4

x = 45k, daí você substitui o k e acha quais números quiser!
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Mensagem por Harim Sáb 15 Nov 2014, 12:55

Eu consegui resolver aqui pelo que aprendi pelos videos :

Seja x o número de 3 dígitos.
Temos que x=45k, 3≤k≤22 (1)

x==4(mod11) ---> x=11p + 4, 9≤p≤90 (2)

De (1) e (2) : 45k=11p + 4 --> p=(45k -4)/11 (3)

Logo 11≤p≤90 (4)   p={11,22,..,88}

Como p é inteiro, então : 11|45k - 4

*então 11| (45k-4) - 11 -->  11|15(3k-1)    (essa passagem é louca, kspakspa)

Logo 11|3k-1, com 3≤k≤22 (k inteiro).

Testando as possibilidades eu encontrei k=4 e k=15.

Logo x=180 ou x=675

To aprendendo aquela parada .. Obgado pelos videos e pela ajuda!
Se Deus quiser a gente estuda em Sjc ano que vem !
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