Questão Cefet-MG 2013

Considerando o modelo atômico de Bohr, os elétrons têm movimento
orbital em torno do núcleo e para cada trajetória está associado um
número (n), chamado de quântico principal. Para o átomo de hidrogênio, o elétron no estado fundamental, com n=1, tem energia cinética igual a E0.A partir desse modelo, a energia cinética do elétron no estado excitado, com n = 2, em relação a E0, vale

a) 4.
b) 2.
c) 1/2.
d) 1/4.
e) 1/8.

o exercício é apenas aplicação de fórmula, então nesse caso para um melhor aproveitamento do mesmo, vou deduzir essa fórmula:

comprimento de onda do fóton:

esse seria o comprimento de onda de De Broglie, associado não apenas ao fóton, mas também a uma partícula como o elétron.

no átomo de bohr a órbita do elétron é circular, e como a esse elétron é associado um comprimento de onda de De Broglie, chegamos a relação:



esse é um dos postulados de bohr para a formulação de seu modelo, onde o momento angular do elétron é o número quântico principal multiplicado pela constante reduzida de Plank. 

unindo 3 equações chegaremos a equação que descreve a energia do elétron:

1º - postulado de bohr: 

2º outro postulado de bohr que diz que a força de interação entre próton e elétron é uma força coulombiana e centrípeta:



3º a energia total do elétron:



substituindo 2 em 3:



essa já seria uma expressão de energia para o átomo de hidrogênio, entretanto visamos chegar em uma equação em função do número quântico principal(n), para isso devemos eliminar o raio, que é a única variável dessa equação, e usando o postulado descobriremos o raio e depois elevando ao quadrado:



e sabendo que mv² = e²/4πEor, vamos substituir no denominador:



essa constante é também o raio do estado fundamental, basta substituir n por 1 e verificar, essa constante vale: 0,53 angstroms 
agora temos o raio em função também de constantes, de modo que podemos voltar na equação da energia:



o valor dessa constante é 13,6, e é também a energia do estado fundamental do elétron, basta trocar n por 1 e verificar.

então temos para o exercício: